На стороне $$CD$$ параллелограмма $$MNCD$$ отмечена точка $$K$$. Прямые $$MK$$ и $$NC$$ пересекаются в точке $$F$$. Найдите $$KF$$ и $$FC$$, если $$DK = 10$$, $$KC=5$$, $$NC=8$$, $$MK = 11$$.

Рассмотрим параллелограмм $$MNCD$$. Пусть $$DK = 10$$, $$KC = 5$$, $$NC = 8$$, $$MK = 11$$. Прямые $$MK$$ и $$NC$$ пересекаются в точке $$F$$.

Треугольники $$KCF$$ и $$MNF$$ подобны, т.к. $$CD \parallel MN$$ (параллелограмм), следовательно, углы при вершинах $$C$$ и $$N$$ равны как накрест лежащие, углы при вершинах $$K$$ и $$M$$ равны как накрест лежащие, а углы при вершине $$F$$ вертикальные, значит, тоже равны.

Следовательно, $$\frac{KF}{MF} = \frac{KC}{MN} = \frac{CF}{NF}$$.

Так как $$MNCD$$ - параллелограмм, то $$MN = CD = DK + KC = 10 + 5 = 15$$.

Тогда $$\frac{KC}{MN} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$$.

Значит, $$\frac{KF}{MF} = \frac{1}{3}$$, то есть $$MF = 3KF$$.

Но $$MF = MK + KF = 11 + KF$$.

Получаем: $$11 + KF = 3KF$$

$$2KF = 11$$

$$KF = 5.5$$

$$\frac{CF}{NF} = \frac{1}{3}$$, то есть $$NF = 3CF$$.

Так как $$NC = 8$$, то $$NF = NC + CF = 8 + CF$$.

Значит, $$8 + CF = 3CF$$

$$2CF = 8$$

$$CF = 4$$

Ответ: $$KF = 5.5$$, $$FC = 4$$