3. На стороне треугольника взята точка и из неё прове-дены прямые, параллельные двум другим сторонам так, что данный треугольник разбивается на два ма- лых треугольника и четырёхугольник. Чему равна площадь исходного треугольника, если площади ма- лых треугольников равны 32 дм² и 162 дм²?

3. Пусть дан треугольник ABC, на стороне AB выбрана точка D, через которую проведены прямые DE || BC и DF || AC. Получаем два малых треугольника: ADF и DBE, и параллелограмм DFCE.

Треугольники ADF и ABC подобны, треугольники DBE и ABC подобны (так как прямые DE и DF параллельны сторонам AC и BC соответственно).

Пусть площадь треугольника ADF равна S1 = 32 дм², площадь треугольника DBE равна S2 = 162 дм². Пусть площадь треугольника ABC равна S. Обозначим коэффициент подобия треугольников ADF и ABC как k1, треугольников DBE и ABC как k2.

Тогда S1 = k1² * S, S2 = k2² * S. Отсюда k1² = S1 / S, k2² = S2 / S.

k1 = sqrt(S1 / S), k2 = sqrt(S2 / S).

Так как DE || BC и DF || AC, то ADEB и DFCE - параллелограммы, следовательно, AD/AB + DB/AB = 1.

AD/AB = k1, DB/AB = k2, следовательно, k1 + k2 = 1.

sqrt(S1 / S) + sqrt(S2 / S) = 1.

sqrt(S1) + sqrt(S2) = sqrt(S).

Возведем обе части в квадрат:

(sqrt(S1) + sqrt(S2))² = S.

S = S1 + S2 + 2 * sqrt(S1 * S2).

S = 32 + 162 + 2 * sqrt(32 * 162) = 194 + 2 * sqrt(5184) = 194 + 2 * 72 = 194 + 144 = 338.

Следовательно, площадь треугольника ABC равна 338 дм².

Ответ: 338 дм².