На стороне угла отложены 4 равных отрезка. Через их концы проведены параллельные прямые до пересечения со второй стороной угла. Докажите, что отрезки на второй стороне угла также равны.

Обозначим вершину угла O, а точки на первой стороне — A₁, A₂, A₃, A₄, расположив их от вершины. Пусть проведённые через них параллельные прямые пересекают вторую сторону в точках B₁, B₂, B₃, B₄.

Поскольку A₁B₁, A₂B₂, A₃B₃ и A₄B₄ параллельны, по теореме Фалеса они отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Поэтому существует одно и то же число k, для которого OBᵢ = k · OAᵢ для каждой точки i.

Тогда для соседних отрезков на второй стороне:

B₁B₂ = OB₂ − OB₁ = k · (OA₂ − OA₁).

Аналогично B₂B₃ = k · (OA₃ − OA₂) и B₃B₄ = k · (OA₄ − OA₃). По условию отрезки A₁A₂, A₂A₃ и A₃A₄ равны, поэтому равны и полученные произведения. Следовательно, B₁B₂ = B₂B₃ = B₃B₄.

Значит, отрезки на второй стороне угла также равны.