149. На стороне ВС прямоугольника ABCD, у которого АВ=12 и AD=17, отмечена точка Е так, что треугольник АВЕ равнобедренный. Найдите ED. 150. На стороне ВС прямоугольника ABCD, у которого АВ=24 и AD=31, отмечена точка Е так, что треугольник АВЕ равнобедренный. Найдите ED.

Рассмотрим задачу 149: 1. Анализ условия и идентификация задачи: * Дан прямоугольник ABCD. AB = 12, AD = 17. Точка E на стороне BC, треугольник ABE равнобедренный. Нужно найти ED. 2. Выбор методики и планирование решения: * Так как треугольник ABE равнобедренный, возможны два случая: AB = BE или AE = BE или AE = AB. * Найдем BE, рассмотрим прямоугольный треугольник EDC и найдем ED по теореме Пифагора. 3. Пошаговое выполнение и форматирование: * Случай 1: AB = BE = 12. Тогда EC = BC - BE = 17 - 12 = 5. В прямоугольном треугольнике EDC: ED = $$ \sqrt{EC^2 + DC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 $$. * Случай 2: AE = BE. Опустим высоту из точки A на сторону BE, назовём её H. Тогда BH = HE = BE/2. AH = AB = 12 (высота прямоугольника). Пусть BE = x. Тогда из треугольника AHE по теореме Пифагора: $$ AH^2 + HE^2 = AE^2 $$, $$ 12^2 + (x/2)^2 = x^2 $$, $$ 144 + x^2/4 = x^2 $$, $$ 144 = 3x^2/4 $$, $$ x^2 = 192 $$, $$ x = \sqrt{192} = 8\sqrt{3} $$. Тогда EC = 17 - $$ 8\sqrt{3} $$. $$ ED = \sqrt{(17-8\sqrt{3})^2 + 12^2} = \sqrt{289 - 272\sqrt{3} + 192 + 144} = \sqrt{625 - 272\sqrt{3}} $$. * Случай 3: AE = AB = 12. Опустим высоту из точки A на сторону BE, назовём её H. Тогда BH = HE = BE/2. AH = AB = 12 (высота прямоугольника). Пусть BE = x. Тогда из треугольника AHE по теореме Пифагора: $$ AH^2 + HE^2 = AE^2 $$, $$ 12^2 + (x/2)^2 = 12^2 $$, $$ 144 + x^2/4 = 144 $$, $$ x^2 = 0 $$, $$ x = 0 $$. Данный случай не подходит, так как точка E не может совпадать с точкой B. 4. Финальное оформление ответа: * Если AB = BE, то ED = 13. * Если AE = BE, то ED = $$\sqrt{625 - 272\sqrt{3}}$$. Рассмотрим задачу 150: 1. Анализ условия и идентификация задачи: * Дан прямоугольник ABCD. AB = 24, AD = 31. Точка E на стороне BC, треугольник ABE равнобедренный. Нужно найти ED. 2. Выбор методики и планирование решения: * Так как треугольник ABE равнобедренный, возможны два случая: AB = BE или AE = BE или AE = AB. * Найдем BE, рассмотрим прямоугольный треугольник EDC и найдем ED по теореме Пифагора. 3. Пошаговое выполнение и форматирование: * Случай 1: AB = BE = 24. Тогда EC = BC - BE = 31 - 24 = 7. В прямоугольном треугольнике EDC: ED = $$ \sqrt{EC^2 + DC^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25 $$. * Случай 2: AE = BE. Опустим высоту из точки A на сторону BE, назовём её H. Тогда BH = HE = BE/2. AH = AB = 24 (высота прямоугольника). Пусть BE = x. Тогда из треугольника AHE по теореме Пифагора: $$ AH^2 + HE^2 = AE^2 $$, $$ 24^2 + (x/2)^2 = x^2 $$, $$ 576 + x^2/4 = x^2 $$, $$ 576 = 3x^2/4 $$, $$ x^2 = 768 $$, $$ x = \sqrt{768} = 16\sqrt{3} $$. Тогда EC = 31 - $$ 16\sqrt{3} $$. $$ ED = \sqrt{(31-16\sqrt{3})^2 + 24^2} = \sqrt{961 - 992\sqrt{3} + 768 + 576} = \sqrt{2305 - 992\sqrt{3}} $$. * Случай 3: AE = AB = 24. Опустим высоту из точки A на сторону BE, назовём её H. Тогда BH = HE = BE/2. AH = AB = 24 (высота прямоугольника). Пусть BE = x. Тогда из треугольника AHE по теореме Пифагора: $$ AH^2 + HE^2 = AE^2 $$, $$ 24^2 + (x/2)^2 = 24^2 $$, $$ 576 + x^2/4 = 576 $$, $$ x^2 = 0 $$, $$ x = 0 $$. Данный случай не подходит, так как точка E не может совпадать с точкой B. 4. Финальное оформление ответа: * Если AB = BE, то ED = 25. * Если AE = BE, то ED = $$\sqrt{2305 - 992\sqrt{3}}$$.