На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка N так, что BN : NC = 1 : 4. Точка О делит отрезок AN в отношении 3 : 1, считая от А. Выразите вектор BO через векторы AB и AC.

Пошаговое решение:

1. Для начала, выразим вектор \(\overrightarrow{AN}\) через векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\). Так как \(BN:NC = 1:4\), то \(BN = \frac{1}{5}BC\). Значит, \(\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{5}\overrightarrow{BC}\).
2. Вектор \(\overrightarrow{BC}\) можно выразить как \(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\). Подставляем это в предыдущее уравнение: \(\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{5}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = \frac{4}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{5}\overrightarrow{AC}\).
3. Теперь выразим вектор \(\overrightarrow{AO}\) через вектор \(\overrightarrow{AN}\). Так как \(AO:ON = 3:1\), то \(AO = \frac{3}{4}AN\). Подставляем выражение для \(\overrightarrow{AN}\): \(\overrightarrow{AO} = \frac{3}{4}(\frac{4}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{5}\overrightarrow{AC}) = \frac{3}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{20}\overrightarrow{AC}\).
4. Выразим вектор \(\overrightarrow{BO}\) через векторы \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{AO}\): \(\overrightarrow{BO} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AO} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AO}\).
5. Подставляем выражение для \(\overrightarrow{AO}\): \(\overrightarrow{BO} = -\overrightarrow{AB} + \frac{3}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{20}\overrightarrow{AC} = -\frac{2}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{20}\overrightarrow{AC}\).
6. Приводим к десятичным дробям: \(\overrightarrow{BO} = -0{,}4\overrightarrow{AB} + 0{,}15\overrightarrow{AC}\).

Ответ: -0,4 \(\overrightarrow{AB}\) + 0,15 \(\overrightarrow{AC}\)