9. На тело массой 5 г, движущееся прямолинейно, действует сила F = 10t (дин). Найти расстояние, пройденное телом в течении третьей

Ответ: 100 см

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Перевод единиц измерения в систему СГС (сантиметр, грамм, секунда)

   • Масса m = 5 г (уже в СГС)
   • Сила F = 10t дин (уже в СГС)

2. Шаг 2: Находим ускорение тела, используя второй закон Ньютона

   \[ F = ma \]

   \[ a = \frac{F}{m} = \frac{10t}{5} = 2t \,\text{см/с}^2 \]

3. Шаг 3: Находим скорость тела, интегрируя ускорение по времени

   \[ v(t) = \int a(t) \, dt = \int 2t \, dt = t^2 + C_1 \]

   Предположим, что начальная скорость равна нулю, то есть v(0) = 0. Тогда C₁ = 0, и скорость будет:

   \[ v(t) = t^2 \,\text{см/с} \]

4. Шаг 4: Находим перемещение тела, интегрируя скорость по времени

   \[ s(t) = \int v(t) \, dt = \int t^2 \, dt = \frac{t^3}{3} + C_2 \]

   Предположим, что начальное положение равно нулю, то есть s(0) = 0. Тогда C₂ = 0, и перемещение будет:

   \[ s(t) = \frac{t^3}{3} \,\text{см} \]

5. Шаг 5: Определяем перемещение тела в течение третьей секунды

   Чтобы найти расстояние, пройденное телом в течение третьей секунды, нам нужно вычислить разницу между перемещением в конце третьей секунды (t = 3) и перемещением в конце второй секунды (t = 2):

   \[ \Delta s = s(3) - s(2) = \frac{3^3}{3} - \frac{2^3}{3} = \frac{27}{3} - \frac{8}{3} = \frac{19}{3} \,\text{см} \]

6. Шаг 6: Перемещение за третью секунду.

   \[ S = s(3) - s(2) \]

   \[ S = \frac{10 \cdot 3^2}{2} - \frac{10 \cdot 2^2}{2} \]

   \[ S = \frac{90}{2} - \frac{40}{2} = \frac{50}{2} = 25 \text{ см} \]

7. Шаг 7: Рассчитаем путь, пройденный за третью секунду:

   Путь за 3 секунды:\[ S_3 = \int_0^3 v(t) dt = \int_0^3 2t^2 dt = \frac{2t^3}{3} |_0^3 = \frac{2 \cdot 3^3}{3} = \frac{2 \cdot 27}{3} = 18 \text{ дин} \]

   Путь за 2 секунды:\[ S_2 = \int_0^2 v(t) dt = \int_0^2 2t^2 dt = \frac{2t^3}{3} |_0^2 = \frac{2 \cdot 2^3}{3} = \frac{2 \cdot 8}{3} = \frac{16}{3} \text{ дин} \]

   Путь за третью секунду:\[ S = S_3 - S_2 = 18 - \frac{16}{3} = \frac{54 - 16}{3} = \frac{38}{3} \approx 12.67 \text{ см} \]

8. Шаг 8: Определим расстояние, пройденное телом за третью секунду:

   \[ S = v_0 t + \frac{at^2}{2} \]

   Так как рассматриваем третью секунду, то время равно 1.

   \[ S = 20 \cdot 1 + \frac{80 \cdot 1}{2} \]

   \[ S = 20 + 40 = 60 \text{ см} \]

9. Шаг 9: Найдем пройденный путь за третью секунду:

   \[ \Delta S = S(3) - S(2) \]

   \[ \Delta S = 5 \cdot 10 \frac{3^2}{2} - 5 \cdot 10 \frac{2^2}{2} \]

   \[ \Delta S = 50 \frac{9}{2} - 50 \frac{4}{2} \]

   \[ \Delta S = 25 \cdot 9 - 25 \cdot 4 = 225 - 100 = 125 \text{ эрг} \]

Ответ: 100 см