(18) На точки M и окружности с центром O и радиусом, равным 3, проведены касательные MA и MB. Найдите расстояние между точками касания, если \(\angle AOB = 120^\circ\).

Решение:

• Так как MA и MB - касательные к окружности, углы \(\angle OAM\) и \(\angle OBM\) прямые (90°).
• В четырехугольнике AOBM сумма углов равна 360°, значит, \(\angle AMB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 120^\circ = 60^\circ\).
• Рассмотрим треугольник AOB. Так как OA = OB (радиусы), то треугольник равнобедренный. Угол \(\angle AOB = 120^\circ\), значит, \(\angle OAB = \angle OBA = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ\).
• Рассмотрим треугольник OAM. \(\angle OAM = 90^\circ\), \(\angle AOM = 120^\circ / 2 = 60^\circ\). Значит, \(\angle AMO = 30^\circ\).
• Тогда AM = OA * cot(30°) = 3 * √3 = \(3\sqrt{3}\).
• Рассмотрим треугольник AMB. Он равнобедренный (AM = BM), и \(\angle AMB = 60^\circ\), значит, он равносторонний. Тогда AB = AM = \(3\sqrt{3}\).

Ответ: Расстояние между точками касания AB = \(3\sqrt{3}\).