На треугольном участке разбиты две круглые клубмы с цветами. Клумбы касаются друг друга и границ участка, а один из углов участка составляет 60°. Рассчитайте отношение радиуса большей клумбы к радиусу меньшей клумбы.

Ответ: 3

Решение:

• Пусть радиус меньшей окружности равен r, а радиус большей окружности равен R.
• Центры окружностей обозначим как O1 и O2 соответственно.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центрами окружностей и перпендикуляром от центра меньшей окружности к радиусу большей окружности.
• Один из углов этого треугольника равен 30° (так как угол при вершине треугольника равен 60°).
• Гипотенуза этого треугольника равна R + r, а катет, противолежащий углу 30°, равен R - r.

Используем соотношение в прямоугольном треугольнике:

\[\sin(30^\circ) = \frac{R - r}{R + r}\]

Так как \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\), получаем:

\[\frac{1}{2} = \frac{R - r}{R + r}\]

Решаем уравнение:

\[R + r = 2(R - r)\] \[R + r = 2R - 2r\] \[3r = R\]

Таким образом, отношение радиуса большей клумбы к радиусу меньшей клумбы:

\[\frac{R}{r} = 3\]

Ответ: 3