На трёх карточках написано по натуральному числу. На первой карточке написано число а, на второй число в, на третьей число 1764. Известно, что наименьшее общее кратное чисел а и в равно 588, а наибольший общий делитель чисел а и 1764 равен 14. Чему равно число а?

Разложим числа 1764 и 588 на простые множители:

$$1764 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2$$

$$588 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7^2$$

Пусть НОД(a, 1764) = 14, тогда $$14 = 2 \cdot 7$$. Значит, число a имеет вид $$a = 2 \cdot 7 \cdot x = 14x$$, где x - некоторое целое число.

Так как НОД(a, 1764) = 14, то в разложении числа a не должно быть множителей 3. Поэтому $$x$$ не делится на 3. Также в разложении числа a может быть множитель 2 или множитель 7.

Наименьшее общее кратное (НОК) чисел a и b равно 588. Значит, $$НОК(a, b) = 2^2 \cdot 3 \cdot 7^2 = 588$$. Это означает, что в разложении числа a должна быть двойка (в первой или второй степени) и может не быть тройки, но должна быть семёрка (в первой или второй степени).

Проверим варианты для числа a:

1. Если $$a = 14$$, то $$a = 2 \cdot 7$$, НОД(14, 1764) = 14, НОК(14, b) = 588. В разложении числа 588 есть множитель $$2^2$$ и множитель 3, значит в разложении b должна быть $$2^2$$ и 3, а также $$7^2$$. Отсюда, $$b = 2^2 \cdot 3 \cdot 7^2 = 588$$.
2. Если $$a = 14 \cdot 2 = 28$$, то $$a = 2^2 \cdot 7$$, НОД(28, 1764) = 14, НОК(28, b) = 588. В разложении числа 588 есть множитель $$2^2$$ и множитель 3, значит в разложении b должен быть множитель 3, а также $$7^2$$. Отсюда, $$b = 3 \cdot 7^2 = 147$$.
3. Если $$a = 14 \cdot 7 = 98$$, то $$a = 2 \cdot 7^2$$, НОД(98, 1764) = 14. НОК(98, b) = 588. В разложении числа 588 есть множитель $$2^2$$ и множитель 3, значит в разложении b должен быть множитель $$2^2$$ и 3. Отсюда, $$b = 2^2 \cdot 3 = 12$$.
4. Если $$a = 14 \cdot 2^2 = 56$$, то $$a = 2^3 \cdot 7$$, НОД(56, 1764) = 14. НОК(56, b) = 588. В разложении числа 588 есть множитель $$2^2$$ и множитель 3, значит в разложении b должен быть множитель 3, а также $$7^2$$. Отсюда, $$b = 3 \cdot 7^2 = 147$$.
5. Если $$a = 14 \cdot 7^2 = 686$$, то $$a = 2 \cdot 7^3$$, НОД(686, 1764) = 14. НОК(686, b) = 588. Такого не может быть, т.к. НОК не может быть меньше a.

Так как НОД(a, 1764) = 14, то наибольший общий делитель чисел a и 1764 равен 14, следовательно, a должно быть кратно 14, но не должно делиться на 3. Число 294 = 14 * 21 делится на 3, что не удовлетворяет условию.

Из вышеперечисленных вариантов подходит a = 98.

Ответ: 98