17. На уроке ментальной арифметики учительница записала некоторое число на доске. Ученик Вова вычел из этого числа сумму его цифр и тоже записал результат на доске. У нового числа Ира стёрла одну цифру. В итоге на доске осталось число 528. Какую цифру стёрла Ира, если известно, что исходное число было четырёхзначным?

Пусть исходное число равно abcd, где a, b, c, d – цифры этого числа. Тогда abcd = 1000a + 100b + 10c + d. Вова вычел из этого числа сумму его цифр, то есть, 1000a + 100b + 10c + d - (a + b + c + d) = 999a + 99b + 9c, что делится на 9.

После того, как Ира стёрла одну цифру, на доске осталось число 528. Значит, стёртое число может находиться на любом месте в числе. Рассмотрим все возможные варианты:

1. Если стерта первая цифра: число имеет вид x528, где x - стёртая цифра. Тогда число x528 делится на 9. Сумма цифр числа x528 равна x + 5 + 2 + 8 = x + 15. Ближайшее число, кратное 9, это 18. Значит, x = 3. Исходное число: 3528. Проверим: 3528 - (3 + 5 + 2 + 8) = 3528 - 18 = 3510. Не подходит, так как после стирания одной цифры должно получиться 528.
2. Если стерта вторая цифра: число имеет вид 5x28, где x - стёртая цифра. Тогда число 5x28 делится на 9. Сумма цифр числа 5x28 равна 5 + x + 2 + 8 = x + 15. Ближайшее число, кратное 9, это 18. Значит, x = 3. Исходное число: 5328. Проверим: 5328 - (5 + 3 + 2 + 8) = 5328 - 18 = 5310. Не подходит, так как после стирания одной цифры должно получиться 528.
3. Если стерта третья цифра: число имеет вид 52x8, где x - стёртая цифра. Тогда число 52x8 делится на 9. Сумма цифр числа 52x8 равна 5 + 2 + x + 8 = x + 15. Ближайшее число, кратное 9, это 18. Значит, x = 3. Исходное число: 5238. Проверим: 5238 - (5 + 2 + 3 + 8) = 5238 - 18 = 5220. Не подходит, так как после стирания одной цифры должно получиться 528.
4. Если стерта четвертая цифра: число имеет вид 528x, где x - стёртая цифра. Тогда число 528x делится на 9. Сумма цифр числа 528x равна 5 + 2 + 8 + x = x + 15. Ближайшее число, кратное 9, это 18. Значит, x = 3. Исходное число: 5283. Проверим: 5283 - (5 + 2 + 8 + 3) = 5283 - 18 = 5265. Не подходит, так как после стирания одной цифры должно получиться 528.

Но так как Вова вычел из исходного числа сумму его цифр и записал результат, а Ира стерла одну цифру, получив 528, значит, до стирания число должно быть четырехзначным. Пусть было число 528x, где x - стёртая цифра. То есть 5280 + x.

Число 528 получается, если стёрта цифра из результата, который делится на 9, значит, сумма цифр 5 + 2 + 8 = 15, поэтому, чтобы результат делился на 9, нам не хватает 3, т.е. 5283

Проверим:

5283 - (5 + 2 + 8 + 3) = 5283 - 18 = 5265

Теперь необходимо найти такое число, из которого можно получить 5265, при вычеркивании цифры.

Пусть исходное число x = abcd

abcd - (a + b + c + d) = 5265

1000a + 100b + 10c + d - a - b - c - d = 5265

999a + 99b + 9c = 5265

111a + 11b + c = 585

Заметим, что если a = 6, то 111 * 6 = 666 > 585, следовательно, a должно быть 5

11b + c = 585 - 555

11b + c = 30

Если b = 3, то 11 * 3 = 33 > 30, следовательно, b должно быть 2

c = 30 - 22 = 8

Таким образом, исходное число abcd = 528d

528d - (5 + 2 + 8 + d) = 5265

528d - 15 - d = 5265

5280 + d - 15 - d = 5265

5265 = 5265 - верно

Получается, что последняя цифра 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - любая.

По условию известно, что исходное число было четырёхзначным и ученик вычел из этого числа сумму его цифр, а также известно, что новое число делится на 9.

Но если исходное число равно 5283, то

5283 - (5 + 2 + 8 + 3) = 5283 - 18 = 5265. Тут не сошлось - цифры не сходятся.

Пусть исходное число будет 6003

6003 - (6 + 0 + 0 + 3) = 6003 - 9 = 5994

Тогда получается, что Ира стерла цифру 9.

6003 - (6 + 0 + 0 + 3) = 6003 - 9 = 5994. Если стереть девятку, то получится 594. Но это не 528.

Если исходное число было равно 1000. 1000 - (1 + 0 + 0 + 0) = 999. Не сходится

Предположим, что стерли цифру 6

5283 - (5 + 2 + 8 + 3) = 5265. Если Ира стерла 6, то 525. И тоже не сходится.

Предположим, что стерли цифру 5

5283 - (5 + 2 + 8 + 3) = 5265. Если Ира стерла 5, то 265. И тоже не сходится.

Значит число имеет вид 528x или x528, где x - стёртая цифра.

При этом после вычитания суммы цифр из числа, получаем 528x

x528 → 528

528x → 528

Вывод: задача некорректна, так как нет однозначного решения, либо информации недостаточно.

На основании вышеизложенного можно сделать вывод, что условие задачи сформулировано некорректно. Невозможно точно определить, какую цифру стёрла Ира, так как данные не позволяют определить однозначный ответ.

Ответ: Условие задачи некорректно, невозможно однозначно определить, какую цифру стёрла Ира.