На высоте СН равнобедренного треугольника ABC с основанием AB отметили точку M. Докажите, что треугольник AMB равнобедренный.

Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AB, то его высота CH является также медианой.

Следовательно, точка H — середина основания AB, поэтому \(AH=HB\). Кроме того, \(CH\perp AB\), а точка M лежит на высоте CH, значит, \(MH\perp AB\).

Таким образом, прямая MH является серединным перпендикуляром к отрезку AB. Любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка, поэтому \(MA=MB\).

Ответ: треугольник AMB равнобедренный, его основание — AB.