13. На выставке робот собрал мозаику 8×8 из квадратных плиток 1×1, после чего он разрезал её лазером на детали двух типов: квадратные модули 2х2 и длинные планки 1х4. Известно, что суммарная длина всех лазерных разрезов оказалась равна 54. Сколько деталей каждого вида получилось? Сначала запишите количество квадратных деталей, а затем количество прямоугольных деталей без пробелов. 14. В лаборатории есть два типа роботов: «сканы» – всегда выводящие верный ответ и «глюки», всегда выводящие неверный ответ. На проверке работоспособности выставили 65 роботов, после чего они по очереди вывели по одному сообщению. Каждый робот выводил фразу: «среди всех предыдущих сообщений верных ровно на 20 меньше, чем неверных». Сколько «сканов» было на проверке работоспособности?

Давай разберем по порядку каждую из задач. Задача 13: 1. Размеры мозаики: Мозаика состоит из 8x8 плиток 1x1. 2. Разрезание: Мозаика разрезается на квадратные модули 2x2 и планки 1x4. 3. Суммарная длина разрезов: Общая длина всех разрезов составляет 54. Нам нужно найти количество деталей каждого вида (квадратных модулей и планок). Пусть количество квадратных модулей равно x, а количество планок равно y. При разрезании мозаики на квадратные модули 2x2, нужно сделать разрезы как по горизонтали, так и по вертикали. При разрезании на планки 1x4, разрезы делаются так же. Чтобы найти количество деталей каждого вида, сначала рассмотрим случай, если разрезать только на квадраты 2х2. Всего плиток 8х8 = 64. Квадрат 2х2 состоит из 4 плиток. Всего квадратов 2х2 можно получить 64/4 = 16 штук. При этом нужно сделать 7 разрезов по горизонтали и 7 разрезов по вертикали, итого 14 разрезов. Длина каждого разреза равна 8. Суммарная длина разрезов = 14 * 8 = 112. Что больше, чем 54. Теперь рассмотрим случай, если разрезать только на прямоугольники 1х4. Чтобы получить один такой прямоугольник, нужно сделать 3 разреза длиной 1. Каждый такой прямоугольник состоит из 4 плиток 1х1. Всего можно получить 64/4 = 16 штук. Чтобы получить 16 прямоугольников 1х4, нужно сделать разрезы. Если разрезать горизонтально, то нужно сделать 7 разрезов длиной 8. Итого длина разрезов = 7 * 8 = 56. Что тоже больше, чем 54. Пусть разрезали на x квадратов 2х2 и y прямоугольников 1х4. Тогда 4x + 4y = 64 (общее число плиток) x + y = 16 Для того, чтобы получить один квадрат 2х2 нужно сделать 1 разрез длиной 2. Всего нужно сделать x разрезов. Аналогично для прямоугольников 1х4. Чтобы получить один прямоугольник нужно сделать 1 разрез длиной 4. Тогда общее количество разрезов будет равно 2x + 4y = 54 Получим систему уравнений: x + y = 16 2x + 4y = 54 Выразим x из первого уравнения: x = 16 - y Подставим во второе уравнение: 2(16 - y) + 4y = 54 32 - 2y + 4y = 54 2y = 54 - 32 2y = 22 y = 11 Тогда x = 16 - 11 = 5 Таким образом, квадратных модулей 5, прямоугольных деталей 11. Задача 14: Пусть S - количество сканов (всегда говорят правду). Пусть G - количество глюков (всегда говорят неправду). Всего роботов 65, значит: S + G = 65 Каждый робот делает одно сообщение. Робот говорит, что верных сообщений на 20 меньше, чем неверных. Пусть i - номер робота, который делает сообщение. Тогда робот говорит, что: верных = неверных - 20 верных + неверных = i - 1 (количество предыдущих сообщений) значит неверных - 20 + неверных = i - 1 2 * неверных = i + 19 неверных = (i + 19) / 2 Если робот - сканер, то это правда. А если глюк, то ложь. Первый робот говорит, что верных = неверных - 20. Так как сообщений до него не было, то фраза не имеет смысла. Если первый робот - сканер, то верных сообщений 0. Это правда. Если первый робот - глюк, то верных сообщений не 0. Это ложь. Пусть сначала все скажут правду, тогда верных сообщений будет равно: верных = неверных - 20 верных + неверных = i - 1 2 * верных = i - 21 верных = (i - 21) / 2 Значит 22 робот скажет правду, что верных сообщений (22-21)/2 = 1/2. Но такого не может быть. Общая логика решения: Если высказывание истинно, то робот - сканер. Если высказывание ложно, то робот - глюк. Всего 65 роботов. Нужно найти количество сканеров. Допустим, что всего сканеров S и глюков G. S + G = 65 Раз все роботы говорили по очереди, то рассмотрим момент, когда говорит последний робот (65-й). Он говорит, что верных сообщений на 20 меньше, чем неверных. Если этот робот говорит правду, то он сканер. А если он лжет, то он глюк. Пусть к моменту речи 65-го робота было V верных и N неверных сообщений, сделанных предыдущими роботами. V + N = 64 65-й робот говорит, что V = N - 20 Подставим: N - 20 + N = 64 2N = 84 N = 42 тогда V = 64 - 42 = 22 Если 65-й робот - сканер, то он сказал правду. Это значит, что было 22 верных и 42 неверных сообщения. Но тогда всего сканеров 22 + 1 = 23, a глюков 42. Так не может быть, потому что сканеры всегда говорят правду, а глюки ложь. 65-й робот - глюк, и он сказал неправду, значит V != N - 20. Введем новую переменную x - количество сканов S = x, тогда G = 65 - x Пусть y - номер робота. Верных высказываний у него (y-21)/2 Рассуждение: если сканов сильно много (например, все 65 роботов сканы), то они все будут врать, что (i - 21) / 2 = верных. Это не так, потому что есть глюки, которые всегда лгут. Рассмотрим случай: сколько сканов, если все глюки сказали правду. Тогда верных высказываний = 0. Вывод: 23 скана

Ответ: 51123

Молодец! Ты отлично справился с решением задач. Продолжай в том же духе, и у тебя обязательно всё получится!