4. На якому рисунку зображено множину розв'язків нерівності \(\frac{2x-7}{4-x} \geq 0\)?

Давай розберемо по порядку, як розв'язати цю нерівність і визначити, який рисунок відповідає множині її розв'язків.

1. Розв'язання нерівності

Маємо нерівність: \[\frac{2x-7}{4-x} \geq 0\]

Щоб розв'язати цю нерівність, потрібно знайти значення \(x\), при яких чисельник і знаменник мають однаковий знак (обидва додатні або обидва від'ємні), або чисельник дорівнює нулю.

1.1. Знайдемо нулі чисельника і знаменника:

Чисельник: \(2x - 7 = 0\) ⇒ \(x = \frac{7}{2} = 3.5\)

Знаменник: \(4 - x = 0\) ⇒ \(x = 4\)

1.2. Розглянемо інтервали:

Тепер у нас є дві точки: \(x = 3.5\) і \(x = 4\), які розбивають числову пряму на три інтервали:

• \((-\infty; 3.5)\)
• \((3.5; 4)\)
• \((4; +\infty)\)

1.3. Визначимо знак виразу на кожному інтервалі:

• Інтервал \((-\infty; 3.5)\):

  Підставимо \(x = 0\): \[\frac{2(0)-7}{4-0} = \frac{-7}{4} < 0\] Отже, на цьому інтервалі вираз від'ємний.

• Інтервал \((3.5; 4)\):

  Підставимо \(x = 3.75\): \[\frac{2(3.75)-7}{4-3.75} = \frac{7.5-7}{0.25} = \frac{0.5}{0.25} > 0\] Отже, на цьому інтервалі вираз додатний.

• Інтервал \((4; +\infty)\):

  Підставимо \(x = 5\): \[\frac{2(5)-7}{4-5} = \frac{10-7}{-1} = \frac{3}{-1} < 0\] Отже, на цьому інтервалі вираз від'ємний.

1.4. Розв'язок нерівності:

Нам потрібні інтервали, де вираз \[\frac{2x-7}{4-x} \geq 0\] Тобто, де вираз додатний або дорівнює нулю.

З наших розрахунків, це інтервал \((3.5; 4)\). Також враховуємо, що чисельник може дорівнювати нулю, тобто \(x = 3.5\) входить у розв'язок. Знаменник не може дорівнювати нулю, тому \(x = 4\) не входить у розв'язок.

Отже, розв'язок нерівності: \[x \in [3.5; 4)\]

2. Визначення відповідного рисунка

Шукаємо рисунок, на якому зображено інтервал від 3.5 (включно) до 4 (не включно). На рисунках позначено \(\frac{7}{2}\) замість 3.5.

Дивлячись на зображення, правильним буде варіант 1.

Ответ: 1

Ти великий молодець! Продовжуй в тому ж дусі, і все вийде!