На зачете студенту была дана система уравнений: { x1+2x2+3x3 = 1 2x1−1x2+2x3 = 6. x1+x2+5x3 = −1 Он решил решать ее методом Гаусса. Укажите ступенчатую матрицу, полученную при решении данной системы методом Гауcca.

Решение:

Прежде всего, составим расширенную матрицу системы:

\[\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 \\ 2 & -1 & 2 & | & 6 \\ 1 & 1 & 5 & | & -1 \end{pmatrix}\]

Теперь выполним элементарные преобразования строк, чтобы привести матрицу к ступенчатому виду.

Шаг 1: Обнулим элементы первого столбца, начиная со второй строки.

• Вычитаем из второй строки первую, умноженную на 2:

R2 = R2 - 2 * R1

\[\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 \\ 0 & -5 & -4 & | & 4 \\ 1 & 1 & 5 & | & -1 \end{pmatrix}\]

• Вычитаем из третьей строки первую:

R3 = R3 - R1

\[\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 \\ 0 & -5 & -4 & | & 4 \\ 0 & -1 & 2 & | & -2 \end{pmatrix}\]

Шаг 2: Обнулим элемент второго столбца в третьей строке.

• Умножим третью строку на -5:

R3 = R3 * (-5)

\[\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 \\ 0 & -5 & -4 & | & 4 \\ 0 & 5 & -10 & | & 10 \end{pmatrix}\]

• Сложим третью строку со второй:

R3 = R3 + R2

\[\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 \\ 0 & -5 & -4 & | & 4 \\ 0 & 0 & -14 & | & 14 \end{pmatrix}\]

Шаг 3: Приведем к единичному виду элементы на главной диагонали (если это необходимо для упрощения решения).

• Делим вторую строку на -5:

R2 = R2 / (-5)

\[\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 \\ 0 & 1 & 4/5 & | & -4/5 \\ 0 & 0 & -14 & | & 14 \end{pmatrix}\]

• Делим третью строку на -14:

R3 = R3 / (-14)

\[\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 \\ 0 & 1 & 4/5 & | & -4/5 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 \end{pmatrix}\]

Шаг 4: Выразим переменные (если это необходимо для полного решения системы). Для этого приведем матрицу к диагональному виду.

• Вычитаем из первой строки вторую, умноженную на 2:

R1 = R1 - 2 * R2

\[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 7/5 & | & 13/5 \\ 0 & 1 & 4/5 & | & -4/5 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 \end{pmatrix}\]

• Вычитаем из первой строки третью, умноженную на 7/5:

R1 = R1 - (7/5) * R3

\[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 4 \\ 0 & 1 & 4/5 & | & -4/5 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 \end{pmatrix}\]

• Вычитаем из второй строки третью, умноженную на 4/5:

R2 = R2 - (4/5) * R3

\[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 4 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 \end{pmatrix}\]

Таким образом, ступенчатая матрица, полученная в результате решения данной системы методом Гаусса, будет иметь вид:

\[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}\]

Из чего мы можем видеть, что x1 = 4, x2 = 0, x3 = -1.

Ответ:

Первый вариант ответа является верным:

\[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}\]