На заводе по производству деталей для посудомоечных машин 9% произведённых деталей имеют дефект. Система контроля качества выявляет 80% деталей с дефектом. Построй дерево этого случайного эксперимента. Найди вероятность того, что очередная произведённая деталь попадёт в продажу. (Ответ округли до сотых.)

Решение:

Пусть событие D — деталь имеет дефект, событие Н — деталь не имеет дефекта.

Пусть событие К — система контроля качества выявила дефект, событие НК — система контроля качества не выявила дефект.

По условию задачи:

• Вероятность того, что деталь имеет дефект: \( P(D) = 0.09 \).
• Вероятность того, что деталь не имеет дефекта: \( P(Н) = 1 - P(D) = 1 - 0.09 = 0.91 \).
• Вероятность того, что система контроля качества выявит дефект, если деталь действительно имеет дефект (чувствительность теста): \( P(K|D) = 0.80 \).
• Вероятность того, что система контроля качества не выявит дефект, если деталь действительно имеет дефект (ошибка II рода): \( P(НК|D) = 1 - P(K|D) = 1 - 0.80 = 0.20 \).
• Вероятность того, что система контроля качества выявит дефект, если деталь не имеет дефекта (ложноположительный результат, ошибка I рода): \( P(K|Н) \) — неизвестна.
• Вероятность того, что система контроля качества не выявит дефект, если деталь не имеет дефекта (специфичность теста): \( P(НК|Н) = 1 - P(K|Н) \).

В задаче есть некоторая неясность относительно того, что значит «попадёт в продажу». Будем считать, что в продажу попадают детали, которые система контроля качества признала годными.

Возможны два случая, когда деталь попадает в продажу:

1. Деталь не имеет дефекта, и система контроля качества не выявила дефект: \( P(Н \text{ и } НК) = P(Н) \times P(НК|Н) \).
2. Деталь имеет дефект, но система контроля качества не выявила дефект (ложноотрицательный результат): \( P(D \text{ и } НК) = P(D) \times P(НК|D) \).

Мы знаем \( P(D) = 0.09 \) и \( P(НК|D) = 0.20 \).

Вероятность того, что деталь имеет дефект, но система контроля качества её пропустила: \( P(D \text{ и } НК) = 0.09 \times 0.20 = 0.018 \).

Важно: В условии задачи не указана вероятность того, что система контроля качества не выявит дефект, если деталь не имеет дефекта (\( P(НК|Н) \)). Без этого значения невозможно точно рассчитать общую вероятность того, что деталь попадёт в продажу, так как второй компонент (деталь не имеет дефекта и система её пропустила) не может быть вычислен. Однако, если задача подразумевает, что в продажу попадают детали, которые НЕ БЫЛИ ОТБРАКОВАНЫ системой контроля качества, и при этом не дается информация о ложноположительных срабатываниях, то мы можем предположить, что система контроля качества имеет 100% точность в определении бракованных деталей, но может ошибаться в определении годных. Или, более вероятно, что нас просят найти вероятность того, что деталь пройдёт контроль качества, а именно — будет признана годной.

Предположим, что под «попадёт в продажу» имеется в виду, что деталь прошла контроль качества, то есть система контроля качества не выявила в ней дефекта.

В этом случае, мы должны рассмотреть два сценария:

1. Деталь не имеет дефекта И система контроля качества её не выявила (годная деталь, прошла контроль).
2. Деталь имеет дефект, НО система контроля качества её не выявила (бракованная деталь, которую пропустили).

Случай 1: Деталь не имеет дефекта И прошла контроль.

Вероятность, что деталь не имеет дефекта: \( P(Н) = 0.91 \).

Вероятность, что система контроля качества НЕ выявит дефект, если деталь НЕ имеет дефекта: \( P(НК|Н) \). Эта величина не дана в условии.

Случай 2: Деталь имеет дефект, НО система контроля качества её не выявила.

Вероятность, что деталь имеет дефект: \( P(D) = 0.09 \).

Вероятность, что система контроля качества НЕ выявит дефект, если деталь имеет дефект (ложноотрицательный результат): \( P(НК|D) = 1 - P(K|D) = 1 - 0.80 = 0.20 \).

Вероятность этого случая: \( P(D \text{ и } НК) = P(D) \times P(НК|D) = 0.09 \times 0.20 = 0.018 \).

Если в задаче подразумевается, что в продажу попадают только детали, которые были признаны годными системой контроля качества, и не дается информация о ложноположительных срабатываниях, то задача некорректно сформулирована.

Однако, если трактовать «попадет в продажу» как «будет признана годной системой контроля качества», то нам нужно рассчитать вероятность того, что деталь прошла контроль.

Вероятность того, что деталь признана годной системой контроля качества = (Вероятность, что деталь не имеет дефекта И система не выявила дефект) + (Вероятность, что деталь имеет дефект И система не выявила дефект).

\( P(\text{годная}) = P(Н \text{ и } НК) + P(D \text{ и } НК) \)

\( P(годная) = P(Н) \times P(НК|Н) + P(D) \times P(НК|D) \)

\( P(годная) = 0.91 \times P(НК|Н) + 0.09 \times 0.20 \)

\( P(годная) = 0.91 \times P(НК|Н) + 0.018 \)

Так как \( P(НК|Н) \) неизвестна, предположим, что система контроля качества идеальна для годных деталей, то есть \( P(НК|Н) = 1 \). В этом случае:

\( P(годная) = 0.91 \times 1 + 0.018 = 0.91 + 0.018 = 0.928 \)

Если же предположить, что система контроля качества выявляет 80% бракованных деталей, и мы хотим знать вероятность того, что бракованная деталь НЕ будет выявлена (то есть, случайно попадёт в продажу), то это именно \( P(D \text{ и } НК) \), которое мы рассчитали как 0.018.

Наиболее вероятная трактовка: найти вероятность того, что деталь пройдёт контроль качества (то есть, система контроля качества не обнаружит в ней дефекта).

Это включает два случая:

1. Деталь не имеет дефекта, И система контроля качества не обнаружила дефекта (т.е. деталь годная и прошла проверку).
2. Деталь имеет дефект, НО система контроля качества его не обнаружила (т.е. деталь бракованная, но её пропустили).

Вероятность случая 2: \( P(D \text{ и } НК) = P(D) \times P(НК|D) = 0.09 \times (1 - 0.80) = 0.09 \times 0.20 = 0.018 \).

Для случая 1, нам нужна вероятность \( P(НК|Н) \) — вероятность того, что система контроля качества не обнаружит дефект, если его нет. Эта величина не дана.

Если предположить, что под «попадет в продажу» имеется в виду, что деталь НЕ БЫЛА ОТКЛОНЕНА системой контроля качества, и при этом не дается информация о ложноположительных срабатываниях, то наиболее разумное предположение — что система контроля качества абсолютно точна в выявлении дефектов, но может ошибаться в «пропуске» брака.

Однако, если задача ставит вопрос о вероятности того, что случайно выбранная деталь будет продана, и «продана» значит «не будет отклонена системой контроля», то мы должны учесть оба сценария, когда деталь не имеет дефекта и её не отклонили, и когда деталь имеет дефект, но её всё же не отклонили.

Вероятность бракованной детали, которую пропустили: \( P(D \text{ и } НК) = 0.09 \times 0.20 = 0.018 \).

Если мы не можем рассчитать \( P(НК|Н) \), то будем считать, что речь идёт только о бракованных деталях, которые по ошибке прошли контроль.

Итак, вероятность того, что очередная произведённая деталь попадёт в продажу (то есть, будет признана годной системой контроля качества), если система контроля качества выявляет 80% бракованных деталей, и мы не знаем её точности для годных деталей, будет зависеть от этого неизвестного параметра.

Однако, если задача имеет в виду ТОЛЬКО вероятность того, что ДЕФЕКТНАЯ деталь будет ПРОПУЩЕНА системой контроля и попадет в продажу, то ответ:

\( P(\text{дефектная и пропущена}) = P(D) \times P(\text{не выявлен}|D) = 0.09 \times (1 - 0.80) = 0.09 \times 0.20 = 0.018 \).

Округляя до сотых, получаем 0.02.

Если же задача имеет в виду вероятность того, что ДЕТАЛЬ, ВЫЯВЛЕННАЯ как ГОДНАЯ системой контроля, ПОПАДЕТ В ПРОДАЖУ. Это сложнее.

Предполагая, что в продажу попадают детали, которые система контроля признала годными.

Вероятность того, что деталь признана годной = \( P(НК) \).

\( P(НК) = P(НК|D)P(D) + P(НК|Н)P(Н) \)

\( P(НК) = 0.20 \times 0.09 + P(НК|Н) \times 0.91 \)

\( P(НК) = 0.018 + P(НК|Н) \times 0.91 \)

Если предположить, что система контроля качества НЕ делает ложноположительных срабатываний (т.е. если деталь годная, она будет признана годной, \( P(НК|Н) = 1 \)), то:

\( P(НК) = 0.018 + 1 \times 0.91 = 0.018 + 0.91 = 0.928 \).

Округляя до сотых, получаем 0.93.

Принимаем эту трактовку как наиболее вероятную.

Дерево эксперимента:

1. Первый уровень: Наличие дефекта.
   • Деталь имеет дефект (D): \( P(D) = 0.09 \)
   • Деталь не имеет дефекта (Н): \( P(Н) = 0.91 \)
2. Второй уровень: Результат контроля качества.
   • Если деталь имеет дефект (D):
     • Система выявила дефект (K|D): \( P(K|D) = 0.80 \)
     • Система не выявила дефект (НК|D): \( P(НК|D) = 0.20 \)
   • Если деталь не имеет дефекта (Н):
     • Система выявила дефект (K|Н): Неизвестно (предполагаем 0)
     • Система не выявила дефект (НК|Н): Неизвестно (предполагаем 1)

Вероятность того, что очередная произведённая деталь попадёт в продажу, если под этим подразумевается, что деталь будет признана годной системой контроля качества (не будет выявлен дефект):

\( P(\text{продажа}) = P(\text{деталь не имеет дефекта и не выявлен дефект}) + P(\text{деталь имеет дефект, но дефект не выявлен}) \)

\( P(\text{продажа}) = P(Н \text{ и } НК) + P(D \text{ и } НК) \)

\( P(\text{продажа}) = P(Н) \times P(НК|Н) + P(D) \times P(НК|D) \)

Предполагая, что система контроля качества абсолютно точно определяет годные детали (\( P(НК|Н) = 1 \)) и выявляет 80% брака (\( P(K|D) = 0.80 \), значит \( P(НК|D) = 0.20 \)):

\( P(\text{продажа}) = 0.91 \times 1 + 0.09 \times 0.20 \)

\( P(\text{продажа}) = 0.91 + 0.018 = 0.928 \)

Округляем до сотых: 0.93.

Дерево эксперимента:

┌─── Имеет дефект (0.09) ───┐

│ │

│ └─ Система выявила дефект (0.80) → Не продается

│ └─ Система НЕ выявила дефект (0.20) → Продается (0.09 * 0.20 = 0.018)

Деталь ───

│ │

│ ┌─ Система выявила дефект (предполагаем 0) → Не продается

└─ Не имеет дефекта (0.91) ───┘

└─ Система НЕ выявила дефект (предполагаем 1) → Продается (0.91 * 1 = 0.91)

Общая вероятность продажи = 0.018 + 0.91 = 0.928

Округление до сотых: 0.93.

Ответ: 0.93