На заводе работает 2 рабочих, изготавливающих спицы. Известно, что первый рабочий за час делает на 15 спиц больше, чем второй рабочий. Также первый рабочий изготавливает 180 спиц на 2 часа быстрее, чем второй рабочий, изготавливающий такое же количество спиц. Определите, сколько спиц за час изготавливает второй рабочий.

Решение:

Пусть x — количество спиц, которое второй рабочий изготавливает за час.

Тогда первый рабочий за час изготавливает (x + 15) спиц.

Время, за которое второй рабочий изготавливает 180 спиц, равно \( \frac{180}{x} \) часов.

Время, за которое первый рабочий изготавливает 180 спиц, равно \( \frac{180}{x + 15} \) часов.

Из условия известно, что первый рабочий изготавливает 180 спиц на 2 часа быстрее, чем второй. Составим уравнение:

\( \frac{180}{x} - \frac{180}{x + 15} = 2 \)

Умножим обе части уравнения на \( x(x + 15) \), чтобы избавиться от знаменателей:

\( 180(x + 15) - 180x = 2x(x + 15) \)

\( 180x + 2700 - 180x = 2x^2 + 30x \)

\( 2700 = 2x^2 + 30x \)

Разделим всё на 2:

\( x^2 + 15x - 1350 = 0 \)

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1350) = 225 + 5400 = 5625 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{5625} = 75 \)

Найдем корни:

\( x_1 = \frac{-15 + 75}{2} = \frac{60}{2} = 30 \)

\( x_2 = \frac{-15 - 75}{2} = \frac{-90}{2} = -45 \)

Так как количество спиц не может быть отрицательным, выбираем положительный корень.

\( x = 30 \)

Следовательно, второй рабочий изготавливает 30 спиц в час.

Проверка:

Второй рабочий: 30 спиц/час. 180 спиц за \( \frac{180}{30} = 6 \) часов.

Первый рабочий: 30 + 15 = 45 спиц/час. 180 спиц за \( \frac{180}{45} = 4 \) часа.

Разница во времени: 6 - 4 = 2 часа. Условие выполнено.

Ответ: 30 спиц в час.