Набор задач по теме: «Теорема Пифагора» В-1 1. В равнобокой трапеции основания равны 8 см и 14 см, высота трапеции 4 см. Найдите боковую сторону трапеции. 2. Найдите периметр прямоугольника, одна сторона которого равна 9 см, а диагональ 15 см. 3. Высота равнобедренного треугольника равна 20 см, а его основание 30 см. Найдите боковую сторону данного треугольника. 4. Найдите стороны ромба, если его диагонали равны 2 см и 8 см. 5. В прямоугольной трапеции основания равны 22 см и 6 см, а большая боковая сторона 20 см. Найдите периметр трапеции. 6. Диагонали ромба равны 16см и 30см. Найдите периметр ромба.

Решение задач по теореме Пифагора.

1. В равнобокой трапеции основания 8 см и 14 см, высота 4 см. Найдите боковую сторону трапеции.

   Опустим высоты из вершин меньшего основания на большее. Получим два прямоугольных треугольника по бокам трапеции. Большее основание состоит из отрезков: x, 8, x, где x - длина проекции боковой стороны на большее основание.

   Тогда $$2x + 8 = 14$$, $$2x = 6$$, $$x = 3$$ см.

   Боковая сторона является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 4 см и 3 см.

   По теореме Пифагора: $$a^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$$, $$a = \sqrt{25} = 5$$ см.

   Ответ: 5 см

2. Найдите периметр прямоугольника, одна сторона которого 9 см, а диагональ 15 см.

   В прямоугольнике диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного двумя сторонами прямоугольника.

   Пусть a = 9 см, d = 15 см. По теореме Пифагора: $$a^2 + b^2 = d^2$$, $$9^2 + b^2 = 15^2$$, $$81 + b^2 = 225$$, $$b^2 = 225 - 81 = 144$$, $$b = \sqrt{144} = 12$$ см.

   Периметр прямоугольника: $$P = 2(a + b) = 2(9 + 12) = 2 \cdot 21 = 42$$ см.

   Ответ: 42 см

3. Высота равнобедренного треугольника равна 20 см, а его основание 30 см. Найдите боковую сторону данного треугольника.

   Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является также медианой и делит основание пополам.

   Получаем прямоугольный треугольник с катетами 20 см и 15 см (половина основания).

   По теореме Пифагора: $$a^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625$$, $$a = \sqrt{625} = 25$$ см.

   Ответ: 25 см

4. Найдите стороны ромба, если его диагонали равны 2 см и 8 см.

   Диагонали ромба перпендикулярны и делят друг друга пополам.

   Получаем прямоугольный треугольник с катетами 1 см и 4 см (половины диагоналей).

   По теореме Пифагора: $$a^2 = 1^2 + 4^2 = 1 + 16 = 17$$, $$a = \sqrt{17}$$ см.

   Ответ: $$\sqrt{17}$$ см

5. В прямоугольной трапеции основания равны 22 см и 6 см, а большая боковая сторона 20 см. Найдите периметр трапеции.

   Опустим высоту из вершины меньшего основания на большее. Получим прямоугольник и прямоугольный треугольник.

   Разность оснований: $$22 - 6 = 16$$ см.

   Высота трапеции является катетом прямоугольного треугольника с гипотенузой 20 см и другим катетом 16 см.

   По теореме Пифагора: $$h^2 = 20^2 - 16^2 = 400 - 256 = 144$$, $$h = \sqrt{144} = 12$$ см.

   Периметр трапеции: $$P = 22 + 6 + 20 + 12 = 60$$ см.

   Ответ: 60 см

6. Диагонали ромба равны 16см и 30см. Найдите периметр ромба.

   Диагонали ромба перпендикулярны и делят друг друга пополам.

   Получаем прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 15 см (половины диагоналей).

   По теореме Пифагора: $$a^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$$, $$a = \sqrt{289} = 17$$ см.

   Периметр ромба: $$P = 4a = 4 \cdot 17 = 68$$ см.

   Ответ: 68 см