[Начало условия обрезано] между векторами CA и CB. Найдите углы, периметр и площадь треугольника, вершинами которого являются точки A (1; −1; 3), B (3; −1; 1) и C (−1; 1; 3).

Обозначим углы треугольника при вершинах A, B и C соответственно.

Найдём длины сторон по формуле расстояния между точками в пространстве:

AB = √((3 − 1)² + (−1 + 1)² + (1 − 3)²) = 2√2.

AC = √((−1 − 1)² + (1 − (−1))² + (3 − 3)²) = 2√2.

BC = √((−1 − 3)² + (1 + 1)² + (3 − 1)²) = 2√6.

Так как AB = AC, треугольник равнобедренный, поэтому углы при B и C равны. Для угла A используем векторы AB = (2; 0; −2) и AC = (−2; 2; 0): их скалярное произведение равно −4, а длины равны 2√2. Следовательно, cos A = −4 / 8 = −1/2, откуда A = 120°.

Тогда B = C = (180° − 120°) / 2 = 30°. В частности, угол между векторами CA и CB равен углу C, то есть 30°.

Периметр: P = AB + AC + BC = 4√2 + 2√6.

Площадь найдём по двум сторонам и углу между ними: S = 1/2 · AB · AC · sin A = 1/2 · 2√2 · 2√2 · sin 120° = 2√3.

Ответ: ∠A = 120°, ∠B = ∠C = 30°; P = 4√2 + 2√6; S = 2√3.

Начало условия обрезано, поэтому его часть перед словами «между векторами CA и CB» восстановить нельзя. Если там было отдельное требование, пришлите, пожалуйста, полный фрагмент.