1. Начертите два неколлинеарных вектора \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) так, что \(|\vec{m}| = 2\) см, \(|\vec{n}| = 3\) см. Постройте вектор \(\vec{a} = 2\vec{m} - \frac{1}{3}\vec{n}\). 2. В параллелограмме \(ABCD\) точка \(M\) – середина стороны \(CD\), \(N\) – точка на стороне \(AD\), такая, что \(AN : ND = 1 : 2\). Выразите векторы \(\vec{CN}\) и \(\vec{MN}\) через векторы \(\vec{b} = \vec{BC}\) и \(\vec{a} = \vec{BA}\).

Решение задачи 1

Для решения первой задачи нужно начертить два неколлинеарных вектора \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) заданной длины и построить вектор \(\vec{a}\) как линейную комбинацию этих векторов.

1. Начертите два вектора \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) так, чтобы они не лежали на одной прямой. Длина \(\vec{m}\) должна быть 2 см, а длина \(\vec{n}\) – 3 см.
2. Чтобы построить вектор \(\vec{a} = 2\vec{m} - \frac{1}{3}\vec{n}\), сначала постройте вектор \(2\vec{m}\). Это вектор, который имеет то же направление, что и \(\vec{m}\), но его длина в два раза больше (4 см).
3. Затем постройте вектор \(-\frac{1}{3}\vec{n}\). Это вектор, который имеет направление, противоположное \(\vec{n}\), и его длина составляет треть длины \(\vec{n}\) (1 см).
4. Сложите векторы \(2\vec{m}\) и \(-\frac{1}{3}\vec{n}\). Для этого от конца вектора \(2\vec{m}\) отложите вектор \(-\frac{1}{3}\vec{n}\). Вектор, соединяющий начало вектора \(2\vec{m}\) с концом вектора \(-\frac{1}{3}\vec{n}\), и будет вектором \(\vec{a}\).

Решение задачи 2

Для решения второй задачи нужно выразить векторы \(\vec{CN}\) и \(\vec{MN}\) через векторы \(\vec{b}\) и \(\vec{a}\) в параллелограмме \(ABCD\).

1. Выразим вектор \(\vec{CN}\) через \(\vec{b}\) и \(\vec{a}\).
   \(\vec{CN} = \vec{CD} + \vec{DN}\)
   Так как \(\vec{CD} = -\vec{a}\) и \(\vec{DN} = \frac{2}{3}\vec{DA} = \frac{2}{3}\vec{b}\), то
   \(\vec{CN} = -\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}\)
2. Выразим вектор \(\vec{MN}\) через \(\vec{b}\) и \(\vec{a}\).
   \(\vec{MN} = \vec{MC} + \vec{CN}\)
   Так как \(\vec{MC} = \frac{1}{2}\vec{DC} = \frac{1}{2}\vec{a}\) и \(\vec{CN} = -\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}\), то
   \(\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{a} + (-\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}) = -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}\)

Ответ: \(\vec{CN} = -\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}\), \(\vec{MN} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}\)

Давай, у тебя все получится! Не бойся сложных задач, ты способен на многое!