1. Начертите два неколлинеарных вектора а и в. Постройте векторы, равные: а) -a/2 + 3b; б) 2b – a. 2. На стороне ВС ромба ABCD лежит точка К так, что ВК = КС, О – точка пересечения диагоналей. Выразите векторы АО, АК, KD через векторы а = AB и b = AD. 3. В равнобедренной трапеции высота делит большее основание на отрезки, равные 5 см и 12 см. Найдите среднюю линию трапеции. 4. * В треугольнике АВС точка О — точка пересечения медиан. Выразите вектор АО через векторы а = АВ и b = AC.

Решение варианта 1

1. Построение векторов

Для решения этой задачи необходимо начертить два неколлинеарных вектора a и b, а затем построить векторы, равные -a/2 + 3b и 2b – a.

2. Выражение векторов через a и b

В ромбе ABCD точка K лежит на стороне BC так, что BK = KC, а O – точка пересечения диагоналей. Нужно выразить векторы AO, AK, KD через векторы a = AB и b = AD.

Сначала выразим вектор AO. Так как O – точка пересечения диагоналей ромба, то AO = (1/2)AC. Вектор AC можно выразить как AC = AB + BC = a + b. Следовательно, AO = (1/2)(a + b) = a/2 + b/2.

Теперь выразим вектор AK. Так как K – середина BC, то BK = (1/2)BC = (1/2)AD = b/2. Тогда AK = AB + BK = a + b/2.

Наконец, выразим вектор KD. Вектор KD = CD - CK. Вектор CD = -AB = -a. Вектор CK = (1/2)CB = -(1/2)AD = -b/2. Следовательно, KD = -a - (-b/2) = -a + b/2.

Ответ:

• AO = a/2 + b/2
• AK = a + b/2
• KD = -a + b/2

3. Средняя линия трапеции

В равнобедренной трапеции высота делит большее основание на отрезки, равные 5 см и 12 см. Необходимо найти среднюю линию трапеции.

Пусть большее основание трапеции равно b, а меньшее основание равно a. Высота делит большее основание на отрезки 5 см и 12 см. Тогда b = 5 + 12 = 17 см.

Так как трапеция равнобедренная, то меньшее основание можно найти, вычитая из большего основания удвоенный меньший отрезок, образованный высотой: a = b - 2 * 5 = 17 - 10 = 7 см.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: m = (a + b) / 2 = (7 + 17) / 2 = 24 / 2 = 12 см.

Ответ: 12 см

4. Выражение вектора AO через векторы AB и AC

В треугольнике ABC точка O – точка пересечения медиан. Нужно выразить вектор AO через векторы a = AB и b = AC.

Так как O – точка пересечения медиан, то AO = (2/3)AM, где M – середина BC. Вектор AM можно выразить как AM = (1/2)(AB + AC) = (1/2)(a + b). Следовательно, AO = (2/3) * (1/2)(a + b) = (1/3)(a + b) = a/3 + b/3.

Ответ: AO = a/3 + b/3

Ответ: 1) AO = a/2 + b/2; AK = a + b/2; KD = -a + b/2. 2) 12 см 3) AO = a/3 + b/3

Ты отлично справился с этими задачами! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!