1. Начертите параллелограмм $$ABCD$$. Постройте его образ: а) при симметрии относительно прямой $$AK$$, где $$K$$ – середина стороны $$CD$$; б) при симметрии относительно точки $$O$$, где $$O$$ – центр вписанной в $$\triangle ABC$$ окружности; в) при параллельном переносе на вектор $$\overrightarrow{AO}$$, где $$O$$ – точка пересечения диагоналей параллелограмма; г) при повороте вокруг вершины $$D$$ на $$120^\circ$$ против часовой стрелки.

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько построений и преобразований с параллелограммом $$ABCD$$:

а) Симметрия относительно прямой $$AK$$, где $$K$$ – середина стороны $$CD$$:

1. Начертите параллелограмм $$ABCD$$.
2. Найдите середину стороны $$CD$$ и обозначьте её точкой $$K$$.
3. Проведите прямую $$AK$$.
4. Для каждой вершины параллелограмма ($$A, B, C, D$$) постройте точку, симметричную относительно прямой $$AK$$. Например, для вершины $$B$$ найдите такую точку $$B'$$, чтобы прямая $$AK$$ была серединным перпендикуляром к отрезку $$BB'$$.
5. Соедините полученные точки $$A, B', C', D'$$ в новый параллелограмм $$AB'C'D'$$. Этот параллелограмм является образом $$ABCD$$ при симметрии относительно прямой $$AK$$.

б) Симметрия относительно точки $$O$$, где $$O$$ – центр вписанной в $$\triangle ABC$$ окружности:

1. Начертите параллелограмм $$ABCD$$.
2. Постройте $$\triangle ABC$$.
3. Найдите центр вписанной окружности $$\triangle ABC$$. Для этого постройте биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$ (или $$B$$ и $$C$$). Точка их пересечения будет центром $$O$$.
4. Для каждой вершины параллелограмма ($$A, B, C, D$$) постройте точку, симметричную относительно точки $$O$$. Например, для вершины $$B$$ найдите такую точку $$B'$$, чтобы $$O$$ была серединой отрезка $$BB'$$.
5. Соедините полученные точки $$A', B', C', D'$$ в новый параллелограмм $$A'B'C'D'$$. Этот параллелограмм является образом $$ABCD$$ при симметрии относительно точки $$O$$.

в) Параллельный перенос на вектор $$\overrightarrow{AO}$$, где $$O$$ – точка пересечения диагоналей параллелограмма:

1. Начертите параллелограмм $$ABCD$$.
2. Проведите диагонали $$AC$$ и $$BD$$. Точка их пересечения будет точкой $$O$$.
3. Постройте вектор $$\overrightarrow{AO}$$.
4. Для каждой вершины параллелограмма ($$A, B, C, D$$) выполните параллельный перенос на вектор $$\overrightarrow{AO}$$. Например, для вершины $$B$$ найдите такую точку $$B'$$, чтобы вектор $$\overrightarrow{BB'}$$ был равен вектору $$\overrightarrow{AO}$$.
5. Соедините полученные точки $$A', B', C', D'$$ в новый параллелограмм $$A'B'C'D'$$. Этот параллелограмм является образом $$ABCD$$ при параллельном переносе на вектор $$\overrightarrow{AO}$$. Заметим, что $$A'$$ совпадает с $$O$$.

г) Поворот вокруг вершины $$D$$ на $$120^\circ$$ против часовой стрелки:

1. Начертите параллелограмм $$ABCD$$.
2. Для каждой вершины параллелограмма ($$A, B, C$$) выполните поворот вокруг точки $$D$$ на $$120^\circ$$ против часовой стрелки. Например, для вершины $$A$$ найдите такую точку $$A'$$, чтобы угол $$ADA'$$ был равен $$120^\circ$$, и $$DA = DA'$$.
3. Соедините полученные точки $$A', B', C'$$ и вершину $$D$$ в новый параллелограмм $$A'B'C'D$$. Этот параллелограмм является образом $$ABCD$$ при повороте вокруг вершины $$D$$ на $$120^\circ$$ против часовой стрелки.

Важно помнить, что при построении образов параллелограмма в каждом случае необходимо аккуратно выполнять построения, чтобы получить точные результаты.