Начертите прямую 1. Отметьте точку А, не лежащую на этой прямой. Постройте точку А₁, симметричную точке А, с помощью одного циркуля.

Решение:

1. Начертите прямую l.

2. Отметьте точку А, не лежащую на прямой l.

3. Постройте точку А₁, симметричную точке А относительно прямой l, используя только циркуль:

• Шаг 1: Из точки А проведите окружность так, чтобы она пересекала прямую l в двух точках, назовем их М и N.
• Шаг 2: Из точек М и N проведите две окружности одинакового радиуса (большего, чем расстояние от М до l) так, чтобы они пересекались.
• Шаг 3: Соедините точки пересечения окружностей (из шага 2) прямой линией. Эта линия будет перпендикулярна прямой l.
• Шаг 4: Точка пересечения этой новой прямой с прямой l будет серединой отрезка, соединяющего А и А₁.
• Шаг 5: Используя циркуль, отложите от точки пересечения на прямой l такое же расстояние в сторону, противоположную А. Эта точка и будет А₁.

Примечание: Для построения точки, симметричной точке А относительно прямой l, с помощью циркуля, нам необходимо найти точку О на прямой l, такую, что АО перпендикулярно l, и А₁О = АО. Шаги 1-3 помогают построить перпендикуляр. Шаг 5 позволяет отложить равное расстояние.