Начертите развёрнутый угол СОК, ∠АОК — прямой, ∠РОС = 54°. Вычислите величину угла АОР.

Так как угол СОК развёрнутый, лучи ОС и ОК — противоположные. Поскольку ∠АОК = 90°, луч ОА перпендикулярен ОК, а значит, и ОС.

Возможны два расположения луча ОР относительно луча ОА:

1. Если лучи ОА и ОР находятся по одну сторону от ОС, то
   \(\angle АОР = 90^\circ - 54^\circ = 36^\circ\).
2. Если лучи ОА и ОР находятся по разные стороны от ОС, то
   \(\angle АОР = 90^\circ + 54^\circ = 144^\circ\).

Ответ: \(\angle АОР\) может быть равен \(36^\circ\) или \(144^\circ\).