Начертите треугольник ABC, где угол C = 90°, а угол A = 30°. Найдите длину катета CE, если гипотенуза AB = 10.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC:

• Дано: \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle A = 30^{\circ} \), \( AB = 10 \).
• Найти: \( CE \).

Катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы.

В треугольнике ABC, катет BC противолежит углу A = 30°.

\[ BC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \]

В треугольнике ABC, катет AC противолежит углу B.

\[ \angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \]

\[ AC = AB \cos(30^{\circ}) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \]

CE — это высота, проведенная к гипотенузе AB.

Площадь треугольника ABC можно вычислить двумя способами:

1. \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{3} \cdot 5 = \frac{25\sqrt{3}}{2} \)

2. \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CE = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot CE = 5 \cdot CE \)

Приравняем площади:

\[ 5 \cdot CE = \frac{25\sqrt{3}}{2} \]

\[ CE = \frac{25\sqrt{3}}{2 \cdot 5} = \frac{5\sqrt{3}}{2} \]

Ответ: \( CE = \frac{5\sqrt{3}}{2} \).