Нагреватель мощностью Р = 70 Вт погружён в воду, налитую в калориметр. Масса воды в калориметре равна т = 300 г. Удельная теплоёмкость воды с₁ = 4200 Дж/(кг· °С). 1. Сколько тепла выделит нагреватель за время г = 500 c? 2. До какой температуры t нагреется вода за это время, если её начальная температура совпадает с комнатной и составляет to = 20 °С? Считайте, что всё тепло от нагревателя идёт на нагревание воды. 3. Пусть теперь теплоёмкость* калориметра равна С = 50 Дж/°С. В каком диапазоне может лежать конечная температура воды в калориметре? Считайте, что вода всюду имеет одинаковую температуру, а температура частей калориметра лежит в пределах от комнатной температуры до температуры воды в калориметре. Все величины в задаче известны точно. * Теплоёмкость тела – количество теплоты, необходимое для нагревания его на 1 °С. Решение:

Решение:

1. 1. Вычисление количества теплоты (Q):

   Используем формулу для мощности: $$P = \frac{Q}{t}$$, где $$P$$ — мощность, $$Q$$ — количество теплоты, $$t$$ — время.

   Отсюда, количество теплоты: $$Q = P \times t$$.

   Подставляем значения:

   • $$P = 70$$ Вт
   • $$t = 500$$ с

   $$ Q = 70 \text{ Вт} \times 500 \text{ с} = 35000 \text{ Дж} $$

2. 2. Вычисление конечной температуры (t):

   Используем формулу для количества теплоты, идущего на нагревание воды: $$Q = c_m \times m \times \Delta t$$, где $$c$$ — удельная теплоёмкость воды, $$m$$ — масса воды, $$\Delta t$$ — изменение температуры.

   Из первого пункта мы знаем, что $$Q = 35000$$ Дж.

   Переведём массу воды из граммов в килограммы:

   • $$m = 300$$ г $$= 0.3$$ кг

   Изменение температуры: $$\Delta t = t - t_0$$.

   Подставляем значения в формулу:

   • $$c = 4200$$ Дж/(кг·°С)
   • $$m = 0.3$$ кг
   • $$Q = 35000$$ Дж
   • $$t_0 = 20$$ °С

   $$ 35000 \text{ Дж} = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°С}} \times 0.3 \text{ кг} \times (t - 20 \text{ °С}) $$

   $$ 35000 = 1260 \times (t - 20) $$

   $$ \frac{35000}{1260} = t - 20 $$

   $$ 27.78 \approx t - 20 $$

   $$ t \approx 27.78 + 20 \approx 47.78 \text{ °С} $$

3. 3. Определение диапазона конечной температуры (t_f):

   В этом случае тепло идёт как на нагревание воды, так и на нагревание калориметра. Общее количество теплоты, выделенное нагревателем, равно сумме теплоты, полученной водой ($$Q_w$$) и калориметром ($$Q_c$$).

   $$Q = Q_w + Q_c$$

   $$Q = c_m \times m \times (t_f - t_0) + C \times (t_f - t_0)$$

   где $$C$$ — теплоёмкость калориметра ($$50$$ Дж/°С).

   $$Q = (c_m \times m + C) \times (t_f - t_0)$$

   Мы знаем, что $$Q = 35000$$ Дж.

   $$35000 = (4200 \times 0.3 + 50) \times (t_f - 20)$$

   $$35000 = (1260 + 50) \times (t_f - 20)$$

   $$35000 = 1310 \times (t_f - 20)$$

   $$t_f - 20 = \frac{35000}{1310} \approx 26.72$$

   $$t_f \approx 20 + 26.72 \approx 46.72$$ °С.

   Однако, в условии сказано: «В каком диапазоне может лежать конечная температура воды в калориметре? ... температура частей калориметра лежит в пределах от комнатной температуры до температуры воды в калориметре.»

   Это означает, что температура калориметра может быть разной.

   Минимальная конечная температура (t_f_min):

   Предположим, что калориметр нагрелся до начальной температуры воды ($$t_0 = 20$$ °С). В этом случае всё тепло идёт на нагревание воды.

   $$Q = c_m \times m \times (t_f - t_0)$$

   $$35000 = 4200 \times 0.3 \times (t_f - 20)$$

   $$35000 = 1260 \times (t_f - 20)$$

   $$t_f - 20 = \frac{35000}{1260} \approx 27.78$$

   $$t_f \approx 47.78$$ °С. (Это случай, когда калориметр не поглощает тепло).

   Максимальная конечная температура (t_f_max):

   Предположим, что калориметр нагрелся до некоторой промежуточной температуры $$t_c$$, где $$t_0 ≤ t_c ≤ t_f$$. В условии сказано, что температура калориметра лежит в пределах от комнатной до температуры воды. Это значит, что самая высокая конечная температура воды будет, когда температура калориметра будет максимально близка к конечной температуре воды.

   В самом крайнем случае, когда вся энергия идёт на нагрев только калориметра (условно, если бы воды не было), конечная температура была бы:

   $$Q = C \times (t_f - t_0)$$

   $$35000 = 50 \times (t_f - 20)$$

   $$t_f - 20 = \frac{35000}{50} = 700$$

   $$t_f = 720$$ °С. Но это нереалистично, так как есть вода.

   Рассмотрим уравнение: $$Q = (c_m \times m + C) \times (t_f - t_0)$$.

   Вычислили $$t_f \approx 46.72$$ °С, когда калориметр и вода имеют одинаковую конечную температуру, а начальная температура калориметра равна комнатной.

   Если принять, что температура калориметра находится между $$t_0$$ и $$t_f$$, то $$t_f$$ будет находиться в некотором диапазоне.

   Когда $$t_c = t_0 = 20$$°С, $$t_f ≈ 47.78$$ °С (это минимальная конечная температура воды, так как калориметр не забрал тепло).

   Когда $$t_c = t_f$$, то $$Q = Q_w + Q_c = c_m \times m \times (t_f - t_0) + C \times (t_f - t_0) = (c_m \times m + C) \times (t_f - t_0)$$.

   В этом случае $$t_f ≈ 46.72$$ °С.

   Условие «температура частей калориметра лежит в пределах от комнатной температуры до температуры воды» означает, что $$t_0 ≤ t_c ≤ t_f$$.

   Если $$t_c$$ стремится к $$t_0$$, то $$t_f$$ стремится к $$47.78$$ °С.

   Если $$t_c$$ стремится к $$t_f$$, то $$t_f$$ стремится к $$46.72$$ °С.

   Следовательно, диапазон конечной температуры воды будет от $$46.72$$ °С до $$47.78$$ °С.

Ответ:

1. Количество тепла: 35000 Дж

2. Конечная температура воды: ≈ 47.78 °С

3. Диапазон конечной температуры воды: от ≈ 46.72 °С до ≈ 47.78 °С