Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции

Решение:

Для нахождения точки максимума функции \( y = -\frac{x^2 + 289}{x} \), необходимо найти производную функции и приравнять её к нулю.

1. Преобразуем функцию: \( y = -(x + \frac{289}{x}) = -x - \frac{289}{x} \).
2. Найдём производную функции: \( y' = \frac{d}{dx}(-x - 289x^{-1}) = -1 - 289(-1)x^{-2} = -1 + \frac{289}{x^2} \).
3. Приравняем производную к нулю: \( -1 + \frac{289}{x^2} = 0 \).
4. Решим уравнение: \( \frac{289}{x^2} = 1 \) \( x^2 = 289 \) \( x = \pm \sqrt{289} \) \( x = \pm 17 \).
5. Проверим знак производной на интервалах:
   • Если \( x < -17 \), например \( x = -20 \), то \( y' = -1 + \frac{289}{(-20)^2} = -1 + \frac{289}{400} < 0 \) (функция убывает).
   • Если \( -17 < x < 0 \), например \( x = -10 \), то \( y' = -1 + \frac{289}{(-10)^2} = -1 + \frac{289}{100} = -1 + 2.89 = 1.89 > 0 \) (функция возрастает).
   • Если \( 0 < x < 17 \), например \( x = 10 \), то \( y' = -1 + \frac{289}{10^2} = -1 + \frac{289}{100} = -1 + 2.89 = 1.89 > 0 \) (функция возрастает).
   • Если \( x > 17 \), например \( x = 20 \), то \( y' = -1 + \frac{289}{20^2} = -1 + \frac{289}{400} < 0 \) (функция убывает).
6. Таким образом, функция имеет локальный максимум при \( x = -17 \) и локальный минимум при \( x = 17 \).

Ответ: точка максимума функции находится при x = -17.