Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции Найдите наименьшее значение функции y = 3x - ln(x+3)³ на отрезке [-2,5; 0].

Решение:

Для нахождения наименьшего значения функции \( y = 3x - \ln(x+3)^3 \) на отрезке \( [-2.5; 0] \), нам нужно вычислить значения функции на концах отрезка и в критических точках (если они попадают в отрезок).

1. Вычислим значения функции на концах отрезка:
   • При \( x = -2.5 \):
     \( y = 3(-2.5) - \ln(-2.5+3)^3 = -7.5 - \ln(0.5)^3 = -7.5 - 3\ln(0.5) \approx -7.5 - 3(-0.693) \approx -7.5 + 2.079 \approx -5.421 \)
   • При \( x = 0 \):
     \( y = 3(0) - \ln(0+3)^3 = 0 - \ln(3^3) = -\ln(27) \approx -3.296 \)
2. Найдем производную функции и критические точки:
   \( y = 3x - 3\ln(x+3) \)
   \( y' = 3 - 3 \cdot \frac{1}{x+3} = 3 \left( 1 - \frac{1}{x+3} \right) \)
   Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \( 3 \left( 1 - \frac{1}{x+3} \right) = 0 \)
   \( 1 - \frac{1}{x+3} = 0 \)
   \( 1 = \frac{1}{x+3} \)
   \( x+3 = 1 \)
   \( x = 1 - 3 \)
   \( x = -2 \)
   Эта критическая точка \( x = -2 \) попадает в отрезок \( [-2.5; 0] \).
3. Вычислим значение функции в критической точке:
   При \( x = -2 \):
   \( y = 3(-2) - \ln(-2+3)^3 = -6 - \ln(1)^3 = -6 - \ln(1) = -6 - 0 = -6 \)
4. Сравним полученные значения:
   \( y(-2.5) \approx -5.421 \)
   \( y(0) \approx -3.296 \)
   \( y(-2) = -6 \)

Наименьшее значение из полученных — \( -6 \).

Ответ: -6