Нахождение x.

Решение:

На чертеже изображён прямоугольный треугольник \( OAB \) с прямым углом \( \angle AOB = 90^{\circ} \). Точка \( K \) — основание высоты, опущенной из вершины прямого угла \( O \) на гипотенузу \( AB \). Введём обозначения:

\( OA = OB = R \) (радиус окружности)

\( AB = 8 \)

\( OK = x \) (высота)

Из условия \( \angle AOB = 90^{\circ} \), треугольник \( OAB \) — равнобедренный прямоугольный треугольник.

По теореме Пифагора найдём длину гипотенузы \( AB \):

\[ AB^2 = OA^2 + OB^2 \]\[ 8^2 = R^2 + R^2 \]\[ 64 = 2R^2 \]\[ R^2 = 32 \]\[ R = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \]

Теперь найдём высоту \( OK \) в прямоугольном треугольнике \( OAB \). Площадь треугольника \( OAB \) можно найти двумя способами:

1. Через катеты: \( S = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R = \frac{1}{2} R^2 \)
2. Через гипотенузу и высоту: \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot OK = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot x = 4x \)

Приравниваем площади:

\[ \frac{1}{2} R^2 = 4x \]\[ \frac{1}{2} \cdot 32 = 4x \]\[ 16 = 4x \]\[ x = \frac{16}{4} \]\[ x = 4 \]

Ответ:

x = 4