Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна 8 см и составляет с боковым ребром угол в 30°. Найдите объем призмы.

Разберем задачу поэтапно.

1. Представим шестиугольную призму. В основании призмы лежит правильный шестиугольник. Наибольшая диагональ призмы соединяет две противоположные вершины верхнего и нижнего основания.

2. Угол между наибольшей диагональю и боковым ребром. По условию, этот угол равен 30°. Это означает, что мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный наибольшей диагональю, боковым ребром (высотой призмы) и наибольшей диагональю основания.

3. Найдем высоту призмы. Пусть ( h ) — высота призмы. Тогда, используя тригонометрию, имеем:

$$ sin(30°) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{\text{наибольшая диагональ основания}}{\text{наибольшая диагональ призмы}} $$

Так как \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\), наибольшая диагональ основания равна половине наибольшей диагонали призмы, то есть 4 см.

Далее, найдем высоту призмы ( h ) через косинус:

$$ \cos(30°) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{h}{\text{наибольшая диагональ призмы}} $$ $$ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{8} $$ $$ h = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} $$

4. Найдем сторону основания. Наибольшая диагональ правильного шестиугольника состоит из двух сторон, поэтому сторона основания равна \(\frac{4}{2} = 2\) см.

5. Найдем площадь основания. Площадь правильного шестиугольника можно найти по формуле:

$$ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 $$

где ( a ) — сторона шестиугольника.

$$ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 2^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 6\sqrt{3} \text{ см}^2 $$

6. Найдем объем призмы. Объем призмы равен произведению площади основания на высоту:

$$ V = S \cdot h = 6\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = 24 \cdot 3 = 72 \text{ см}^3 $$

Ответ: 72 см³