6. Наибольшее и наименьшее значение функции (3 балла). Найдите наибольшее и наименьшее значение функции у=х³-6x²-15х+7 на отрезке [-2;6].

Привет! Давай разберем эту задачу вместе. Нам нужно найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке. Это задача на применение производной.

1. Находим производную функции

Сначала найдем производную функции y = x³ - 6x² - 15x + 7:

\[ y' = 3x^2 - 12x - 15 \]

2. Находим критические точки

Приравняем производную к нулю и найдем критические точки:

\[ 3x^2 - 12x - 15 = 0 \]

Разделим обе части уравнения на 3:

\[ x^2 - 4x - 5 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. В данном случае, по теореме Виета:

x₁ = -1, x₂ = 5

3. Проверяем, принадлежат ли критические точки отрезку [-2; 6]

Обе точки x₁ = -1 и x₂ = 5 принадлежат отрезку [-2; 6].

4. Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критических точках

Теперь нам нужно вычислить значения функции y = x³ - 6x² - 15x + 7 в точках x = -2, x = -1, x = 5 и x = 6:

• y(-2) = (-2)³ - 6(-2)² - 15(-2) + 7 = -8 - 24 + 30 + 7 = 5
• y(-1) = (-1)³ - 6(-1)² - 15(-1) + 7 = -1 - 6 + 15 + 7 = 15
• y(5) = (5)³ - 6(5)² - 15(5) + 7 = 125 - 150 - 75 + 7 = -93
• y(6) = (6)³ - 6(6)² - 15(6) + 7 = 216 - 216 - 90 + 7 = -83

5. Определяем наибольшее и наименьшее значения

Сравнивая полученные значения, видим, что:

• Наибольшее значение функции на отрезке [-2; 6]: y(-1) = 15
• Наименьшее значение функции на отрезке [-2; 6]: y(5) = -93

Ответ: Наибольшее значение: 15, наименьшее значение: -93

Вот и все! Ты отлично справился с этой задачей! Если у тебя возникнут еще вопросы, не стесняйся задавать!