Наименьшая сторона треугольника равна 7√2 см, а два угла треугольника равны 105° и 45°. Найдите среднюю сторону этого треугольника.

Сумма углов треугольника равна 180°. Следовательно, третий угол равен:

$$180° - 105° - 45° = 30°$$

Пусть наименьшая сторона, противолежащая углу в 30°, равна a = 7√2 см. Обозначим стороны, противолежащие углам в 45° и 105°, как b и с, соответственно. Тогда по теореме синусов имеем:

$$\frac{a}{\sin 30°} = \frac{b}{\sin 45°} = \frac{c}{\sin 105°}$$

$$\sin 30° = \frac{1}{2}$$, $$\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Найдём сторону b:

$$\frac{7\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$

$$b = \frac{7\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 7\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 7 \cdot 2 = 14 \text{ см}$$

Теперь найдём сторону c. $$\sin 105° = \sin(60° + 45°) = \sin 60° \cos 45° + \cos 60° \sin 45° = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$.

$$\frac{7\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{c}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}$$

$$c = 7\sqrt{2} \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 7\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} = \frac{7(\sqrt{12} + 2)}{2} = \frac{7(2\sqrt{3} + 2)}{2} = 7(\sqrt{3} + 1) \approx 19.12 еxt{ см}$$

Сторона b = 14 см - средняя по величине сторона.

Ответ: 14 см.