Наименьшее значение функции z = 3 - 2x2 - xy - y² в треугольной области, ограниченной линиями х=1, у=0 и у=х, равно Варианты ответов: 1) 1; 2) – 1; 3) 0; 4) – 7; 5) 3.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Анализ функции

  Рассмотрим функцию z = 3 - 2x² - xy - y².

• Шаг 2: Определение области

  Область ограничена линиями x = 1, y = 0 и y = x. Это треугольник с вершинами (0,0), (1,0) и (1,1).

• Шаг 3: Исследование внутри области

  Найдем частные производные функции z по x и y: \[\frac{\partial z}{\partial x} = -4x - y\] \[\frac{\partial z}{\partial y} = -x - 2y\] Приравняем их к нулю, чтобы найти стационарные точки: \[-4x - y = 0\] \[-x - 2y = 0\] Решаем систему уравнений: Из второго уравнения: x = -2y Подставляем в первое уравнение: -4(-2y) - y = 0 8y - y = 0 7y = 0 y = 0 Тогда x = 0. Стационарная точка (0,0). Значение функции в этой точке: z(0,0) = 3 - 2(0)² - 0*0 - 0² = 3.

• Шаг 4: Исследование на границах области
  • Граница 1: x = 1, 0 ≤ y ≤ 1

    Подставляем x = 1 в функцию z: z = 3 - 2(1)² - 1*y - y² = 1 - y - y² Исследуем функцию g(y) = 1 - y - y² на отрезке [0,1]. g'(y) = -1 - 2y g'(y) = 0 при y = -0.5 (не входит в отрезок [0,1]) g(0) = 1 - 0 - 0² = 1 g(1) = 1 - 1 - 1² = -1

  • Граница 2: y = 0, 0 ≤ x ≤ 1

    Подставляем y = 0 в функцию z: z = 3 - 2x² - x*0 - 0² = 3 - 2x² Исследуем функцию h(x) = 3 - 2x² на отрезке [0,1]. h'(x) = -4x h'(x) = 0 при x = 0 h(0) = 3 - 2(0)² = 3 h(1) = 3 - 2(1)² = 1

  • Граница 3: y = x, 0 ≤ x ≤ 1

    Подставляем y = x в функцию z: z = 3 - 2x² - x*x - x² = 3 - 4x² Исследуем функцию f(x) = 3 - 4x² на отрезке [0,1]. f'(x) = -8x f'(x) = 0 при x = 0 f(0) = 3 - 4(0)² = 3 f(1) = 3 - 4(1)² = -1

• Шаг 5: Сравнение значений

  Полученные значения: 3, 1, -1.

• Шаг 6: Выбор наименьшего значения

  Наименьшее значение функции z равно -1.

Ответ: 2) – 1