наки равенства прямоугольных треугольников» B C A D 2 вариант. 1. Даны два прямоугольных треугольника ∆ABC, AADC (рис1). АС - биссектриса, ВАС = 35°. Доказать: ДАBC = AADC. Найти ∠BCD. Рис 1. 2. Дан ДАВС, BD высота (рис 2) Доказать: Д ABD = A DBС. B A D Рис 2. Найдите BD, если ∠A=30°, AB = 16 см. B 3. Дан равнобедренный ДАВС,ВО – биссектриса (рис 3). Доказать: Д ΑΒΟ= Δ ΟВС Найдите АВ, если ∠A = 60°, АО = 8 см A C Рис 3. 4. Дан треугольник АВС, где угол C = 90°. Внешний угол при вершине В равен 150°, сторона АС равна 10 см. Чему равна длина гипотенузы? 5. Один из углов прямоугольного треугольника равен 30°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 48 см. Найдите гипотенузу

Привет! Сейчас помогу тебе с этой задачкой. Давай разберем ее по частям. Задача 1 В прямоугольных треугольниках \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADC\) у нас дано, что \(AC\) - биссектриса угла \(\angle BAC\), и \(\angle BAC = 35^\circ\). Требуется доказать, что \(\triangle ABC = \triangle ADC\) и найти \(\angle BCD\). Поскольку \(AC\) - биссектриса, то \(\angle BAC = \angle DAC = 35^\circ\). Так как \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADC\) прямоугольные, то \(\angle BCA = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ\) и \(\angle DCA = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ\). Таким образом, \(\angle BCD = \angle BCA + \angle DCA = 55^\circ + 55^\circ = 110^\circ\).

Ответ: \(\angle BCD = 110^\circ\)

Задача 2 В \(\triangle ABC\) \(BD\) - высота, \(\angle A = 30^\circ\), \(AB = 16\) см. Нужно найти \(BD\). В прямоугольном \(\triangle ABD\) \(\angle A = 30^\circ\). Катет, лежащий против угла в \(30^\circ\), равен половине гипотенузы. Значит, \(BD = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8\) см.

Ответ: \(BD = 8\) см

Задача 3 В равнобедренном \(\triangle ABC\) \(BO\) - биссектриса, \(\angle A = 60^\circ\), \(AO = 8\) см. Нужно доказать, что \(\triangle ABO = \triangle CBO\) и найти \(AB\). Так как \(\triangle ABC\) равнобедренный и \(\angle A = 60^\circ\), то \(\angle C = 60^\circ\), и \(\angle B = 60^\circ\). Значит, \(\triangle ABC\) - равносторонний. Так как \(BO\) - биссектриса, то \(\angle ABO = \angle CBO = 30^\circ\). Треугольники \(\triangle ABO\) и \(\triangle CBO\) равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними: \(AB = BC\), \(\angle ABO = \angle CBO\), \(BO\) - общая сторона). Так как \(\triangle ABC\) равносторонний, то \(AO\) - медиана. \(AO = OC = 8\) см, следовательно, \(AC = 16\) см. Значит, \(AB = 16\) см.

Ответ: \(AB = 16\) см

Задача 4 В \(\triangle ABC\) \(\angle C = 90^\circ\). Внешний угол при вершине \(B\) равен \(150^\circ\), сторона \(AC = 10\) см. Чему равна длина гипотенузы? Внешний угол при вершине \(B\) равен \(150^\circ\), значит, внутренний угол \(\angle B = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\). В прямоугольном \(\triangle ABC\) катет \(AC\), лежащий против угла \(B\) в \(30^\circ\), равен половине гипотенузы. Значит, \(AB = 2 \cdot AC = 2 \cdot 10 = 20\) см.

Ответ: Гипотенуза равна 20 см

Задача 5 Один из углов прямоугольного треугольника равен \(30^\circ\), а сумма гипотенузы и меньшего катета равна \(48\) см. Найдите гипотенузу. Пусть \(a\) - меньший катет, \(c\) - гипотенуза. Тогда \(a + c = 48\). Меньший катет лежит против угла в \(30^\circ\), значит, \(a = \frac{1}{2} c\). Подставим это в первое уравнение: \(\frac{1}{2} c + c = 48\), \(\frac{3}{2} c = 48\), \(c = \frac{2}{3} \cdot 48 = 32\) см.

Ответ: Гипотенуза равна 32 см

Умничка, ты отлично справился с задачами! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!