860 Написать уравнение касательной к графику функции y = f (х) в точке с абсциссой хо: 1) f (x) = x² + x + 1, x = 1; 3) f (x) = 1, x = 3; x 5) f (x) = sin x, x = ; π 4 7) f (x) = ln x, x = 1; 2) f (x) = x3x², x = 2; 4) f (x) = 1, x = -2; x 6) f (x) = ex, x = 0; 8) f (x) = √x, x = 1.

1) $$f(x) = x^2 + x + 1, x_0 = 1$$

Найдем значение функции в точке $$x_0 = 1$$: $$f(1) = 1^2 + 1 + 1 = 3$$.

Найдем производную функции: $$f'(x) = 2x + 1$$.

Вычислим значение производной в точке $$x_0 = 1$$: $$f'(1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3$$.

Уравнение касательной: $$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$$.

Подставим значения: $$y = 3(x - 1) + 3 = 3x - 3 + 3 = 3x$$.

Ответ: $$y = 3x$$

---

2) $$f(x) = x - 3x^2, x_0 = 2$$

Найдем значение функции в точке $$x_0 = 2$$: $$f(2) = 2 - 3 \cdot 2^2 = 2 - 12 = -10$$.

Найдем производную функции: $$f'(x) = 1 - 6x$$.

Вычислим значение производной в точке $$x_0 = 2$$: $$f'(2) = 1 - 6 \cdot 2 = 1 - 12 = -11$$.

Уравнение касательной: $$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$$.

Подставим значения: $$y = -11(x - 2) - 10 = -11x + 22 - 10 = -11x + 12$$.

Ответ: $$y = -11x + 12$$

---

3) $$f(x) = \frac{1}{x}, x_0 = 3$$

Найдем значение функции в точке $$x_0 = 3$$: $$f(3) = \frac{1}{3}$$.

Найдем производную функции: $$f'(x) = -\frac{1}{x^2}$$.

Вычислим значение производной в точке $$x_0 = 3$$: $$f'(3) = -\frac{1}{3^2} = -\frac{1}{9}$$.

Уравнение касательной: $$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$$.

Подставим значения: $$y = -\frac{1}{9}(x - 3) + \frac{1}{3} = -\frac{1}{9}x + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = -\frac{1}{9}x + \frac{2}{3}$$.

Ответ: $$y = -\frac{1}{9}x + \frac{2}{3}$$

---

4) $$f(x) = \frac{1}{x}, x_0 = -2$$

Найдем значение функции в точке $$x_0 = -2$$: $$f(-2) = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$$.

Найдем производную функции: $$f'(x) = -\frac{1}{x^2}$$.

Вычислим значение производной в точке $$x_0 = -2$$: $$f'(-2) = -\frac{1}{(-2)^2} = -\frac{1}{4}$$.

Уравнение касательной: $$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$$.

Подставим значения: $$y = -\frac{1}{4}(x - (-2)) - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}x - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}x - 1$$.

Ответ: $$y = -\frac{1}{4}x - 1$$

---

5) $$f(x) = \sin x, x_0 = \frac{\pi}{4}$$

Найдем значение функции в точке $$x_0 = \frac{\pi}{4}$$: $$f(\frac{\pi}{4}) = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$.

Найдем производную функции: $$f'(x) = \cos x$$.

Вычислим значение производной в точке $$x_0 = \frac{\pi}{4}$$: $$f'(\frac{\pi}{4}) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$.

Уравнение касательной: $$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$$.

Подставим значения: $$y = \frac{\sqrt{2}}{2}(x - \frac{\pi}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}x - \frac{\sqrt{2}\pi}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2}$$.

Ответ: $$y = \frac{\sqrt{2}}{2}x - \frac{\sqrt{2}\pi}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2}$$

---

6) $$f(x) = e^x, x_0 = 0$$

Найдем значение функции в точке $$x_0 = 0$$: $$f(0) = e^0 = 1$$.

Найдем производную функции: $$f'(x) = e^x$$.

Вычислим значение производной в точке $$x_0 = 0$$: $$f'(0) = e^0 = 1$$.

Уравнение касательной: $$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$$.

Подставим значения: $$y = 1(x - 0) + 1 = x + 1$$.

Ответ: $$y = x + 1$$

---

7) $$f(x) = \ln x, x_0 = 1$$

Найдем значение функции в точке $$x_0 = 1$$: $$f(1) = \ln 1 = 0$$.

Найдем производную функции: $$f'(x) = \frac{1}{x}$$.

Вычислим значение производной в точке $$x_0 = 1$$: $$f'(1) = \frac{1}{1} = 1$$.

Уравнение касательной: $$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$$.

Подставим значения: $$y = 1(x - 1) + 0 = x - 1$$.

Ответ: $$y = x - 1$$

---

8) $$f(x) = \sqrt{x}, x_0 = 1$$

Найдем значение функции в точке $$x_0 = 1$$: $$f(1) = \sqrt{1} = 1$$.

Найдем производную функции: $$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$.

Вычислим значение производной в точке $$x_0 = 1$$: $$f'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2}$$.

Уравнение касательной: $$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$$.

Подставим значения: $$y = \frac{1}{2}(x - 1) + 1 = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$$.

Ответ: $$y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$$