Напишите наименьшее натуральное число x, для которого ложно высказывание: (НЕ (x > 6) И НЕ (x = 5)) ИЛИ (x ≤ 7).

Решение:

Пусть дано высказывание \( F = (\text{НЕ } (x > 6) \text{ И } \text{НЕ } (x = 5)) \text{ ИЛИ } (x \le 7) \).

Чтобы высказывание \( F \) было ложным, необходимо, чтобы оба его компонента были ложными:

1. \( (\text{НЕ } (x > 6) \text{ И } \text{НЕ } (x = 5)) \) должно быть ложным.
2. \( (x \le 7) \) должно быть ложным.

Из второго условия следует, что \( x > 7 \).

Теперь рассмотрим первое условие. Используя закон де Моргана, \( \text{НЕ } A \text{ И } \text{НЕ } B \) эквивалентно \( \text{НЕ } (A \text{ ИЛИ } B) \).

Таким образом, \( (\text{НЕ } (x > 6) \text{ И } \text{НЕ } (x = 5)) \) эквивалентно \( \text{НЕ } ((x > 6) \text{ И } (x = 5)) \).

Это выражение ложно, когда \( (x > 6) \text{ И } (x = 5) \) истинно. Но это невозможно, так как \( x \) не может быть одновременно больше 6 и равен 5.

Давайте переформулируем первое условие: \( (\text{НЕ } (x > 6) \text{ И } \text{НЕ } (x = 5)) \) ложно.

Чтобы выражение \( A \text{ И } B \) было ложным, достаточно, чтобы хотя бы одно из выражений \( A \) или \( B \) было ложным. То есть, \( \text{НЕ } (x > 6) \) ложно ИЛИ \( \text{НЕ } (x = 5) \) ложно.

• \( \text{НЕ } (x > 6) \) ложно означает, что \( x > 6 \) истинно.
• \( \text{НЕ } (x = 5) \) ложно означает, что \( x = 5 \) истинно.

Итак, первое условие ( \( (\text{НЕ } (x > 6) \text{ И } \text{НЕ } (x = 5)) \) ложно) выполняется, если \( x > 6 \) ИЛИ \( x = 5 \).

Теперь объединим оба условия для ложности всего высказывания \( F \):

• \( x > 7 \) (из второго условия)
• \( x > 6 \) ИЛИ \( x = 5 \) (из первого условия)

Мы ищем наименьшее натуральное число \( x \).

Из \( x > 7 \) следует, что \( x \) может быть 8, 9, 10, ...

Проверим, выполняется ли второе условие \( x > 6 \) ИЛИ \( x = 5 \) для этих значений:

• Если \( x = 8 \), то \( 8 > 6 \) истинно. Условие выполнено.
• Если \( x = 9 \), то \( 9 > 6 \) истинно. Условие выполнено.
• Если \( x = 10 \), то \( 10 > 6 \) истинно. Условие выполнено.

Наименьшее натуральное число \( x \), удовлетворяющее обоим условиям \( x > 7 \) и \( (x > 6 \text{ ИЛИ } x = 5) \), это \( x = 8 \).

Ответ: 8