Напишите ответ на вопрос: В уравнении х = 1 + √x + 11 переменная равна ...

Решение:

Дано уравнение: \( x = 1 + \sqrt{x + 11} \).

Чтобы решить это иррациональное уравнение, выполним следующие шаги:

1. Перенесём 1 в левую часть уравнения: \( x - 1 = \sqrt{x + 11} \).
2. Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: \( (x - 1)^2 = (\sqrt{x + 11})^2 \).
3. Раскроем скобки и упростим: \( x^2 - 2x + 1 = x + 11 \).
4. Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( x^2 - 2x - x + 1 - 11 = 0 \), что даёт \( x^2 - 3x - 10 = 0 \).
5. Решим полученное квадратное уравнение, используя дискриминант или теорему Виета. Воспользуемся дискриминантом: \( D = b^2 - 4ac \), где \( a=1 \), \( b=-3 \), \( c=-10 \).
6. \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \).
7. Найдём корни: \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{49}}{2} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5 \).
8. \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{49}}{2} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \).
9. Теперь проверим полученные корни в исходном уравнении, так как при возведении в квадрат могли появиться посторонние корни.
10. Проверка \( x_1 = 5 \): \( 5 = 1 + \sqrt{5 + 11} \) → \( 5 = 1 + \sqrt{16} \) → \( 5 = 1 + 4 \) → \( 5 = 5 \). Корень \( x = 5 \) подходит.
11. Проверка \( x_2 = -2 \): \( -2 = 1 + \sqrt{-2 + 11} \) → \( -2 = 1 + \sqrt{9} \) → \( -2 = 1 + 3 \) → \( -2 = 4 \). Это неверно. Корень \( x = -2 \) не подходит.

Ответ: Переменная равна 5.