1002. Напишите уравнение окружности, проходящей через три данные точки: а) A(1; -4), В(4; 5), C (3; -2); 6) A (3;-7). В 8; -2), C (6; 2).

a) Пусть уравнение окружности имеет вид $$(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$$, где $$(a, b)$$ - координаты центра окружности, $$R$$ - радиус.

Подставим координаты точек A(1; -4), B(4; 5), C(3; -2) в уравнение окружности:

1. $$(1-a)^2 + (-4-b)^2 = R^2$$
2. $$(4-a)^2 + (5-b)^2 = R^2$$
3. $$(3-a)^2 + (-2-b)^2 = R^2$$

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2) и уравнение (1) из уравнения (3):

1. $$(4-a)^2 - (1-a)^2 + (5-b)^2 - (-4-b)^2 = 0$$
2. $$(3-a)^2 - (1-a)^2 + (-2-b)^2 - (-4-b)^2 = 0$$

Раскроем скобки:

1. $$16 - 8a + a^2 - (1 - 2a + a^2) + 25 - 10b + b^2 - (16 + 8b + b^2) = 0$$
2. $$9 - 6a + a^2 - (1 - 2a + a^2) + 4 + 4b + b^2 - (16 + 8b + b^2) = 0$$

1. $$15 - 6a + 9 - 18b = 0$$
2. $$8 - 4a - 12 - 4b = 0$$

1. $$6a + 18b = 24$$
2. $$4a + 4b = -4$$

1. $$a + 3b = 4$$
2. $$a + b = -1$$

Вычтем уравнение (2) из уравнения (1):

$$2b = 5$$

$$b = 2.5$$

Подставим значение b в уравнение (2):

$$a + 2.5 = -1$$

$$a = -3.5$$

Подставим значения a и b в уравнение (1):

$$(1 - (-3.5))^2 + (-4 - 2.5)^2 = R^2$$

$$4.5^2 + (-6.5)^2 = R^2$$

$$20.25 + 42.25 = R^2$$

$$R^2 = 62.5$$

Уравнение окружности: $$(x + 3.5)^2 + (y - 2.5)^2 = 62.5$$

б) Пусть уравнение окружности имеет вид $$(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$$, где $$(a, b)$$ - координаты центра окружности, $$R$$ - радиус.

Подставим координаты точек A(3; -7), B(8; -2), C(6; 2) в уравнение окружности:

1. $$(3-a)^2 + (-7-b)^2 = R^2$$
2. $$(8-a)^2 + (-2-b)^2 = R^2$$
3. $$(6-a)^2 + (2-b)^2 = R^2$$

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2) и уравнение (1) из уравнения (3):

1. $$(8-a)^2 - (3-a)^2 + (-2-b)^2 - (-7-b)^2 = 0$$
2. $$(6-a)^2 - (3-a)^2 + (2-b)^2 - (-7-b)^2 = 0$$

Раскроем скобки:

1. $$64 - 16a + a^2 - (9 - 6a + a^2) + 4 + 4b + b^2 - (49 + 14b + b^2) = 0$$
2. $$36 - 12a + a^2 - (9 - 6a + a^2) + 4 - 4b + b^2 - (49 + 14b + b^2) = 0$$

1. $$55 - 10a - 45 - 10b = 0$$
2. $$27 - 6a - 45 - 18b = 0$$

1. $$10a + 10b = 10$$
2. $$6a + 18b = -18$$

1. $$a + b = 1$$
2. $$a + 3b = -3$$

Вычтем уравнение (2) из уравнения (1):

$$-2b = 4$$

$$b = -2$$

Подставим значение b в уравнение (1):

$$a - 2 = 1$$

$$a = 3$$

Подставим значения a и b в уравнение (1):

$$(3 - 3)^2 + (-7 - (-2))^2 = R^2$$

$$0^2 + (-5)^2 = R^2$$

$$R^2 = 25$$

Уравнение окружности: $$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$$

Ответ: а) $$(x + 3.5)^2 + (y - 2.5)^2 = 62.5$$, б) $$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$$