Расстояние, которое семья проехала по железной дороге: $$11 \cdot 840 = 9240$$ (км).
Расстояние, которое семья проехала на пароходе: $$10360 - 9240 = 1120$$ (км).
Количество километров, которое семья проезжала на пароходе в день: $$840 : 3 = 280$$ (км).
Количество дней, которое семья ехала на пароходе: $$1120 : 280 = 4$$ (дня).
Всего семья была в дороге: $$11 + 4 = 15$$ (дней).
Ответ: 15 дней