17) Настя задумала двузначное число. Затем она нашла сумму цифр этого числа и произведение цифр этого числа, записала сумму и произведение рядом в каком-то порядке, и получилось число 4514. Какое число задумала Настя? Найдите все варианты и докажите, что других нет. Объясните решение.

Решение: Пусть задуманное число имеет вид \(10a + b\), где \(a\) и \(b\) - цифры от 1 до 9. Настя вычислила сумму цифр: \(a + b\) и произведение цифр: \(a \cdot b\). Затем она записала сумму и произведение рядом, и получилось число 4514. Значит, сумма цифр и произведение цифр - это числа 45 и 14 или 14 и 45. Рассмотрим первый случай: \(a + b = 45\) и \(a \cdot b = 14\). Так как \(a\) и \(b\) - цифры от 1 до 9, то их сумма не может быть равна 45. Этот случай не подходит. Рассмотрим второй случай: \(a + b = 14\) и \(a \cdot b = 45\). Нужно найти такие две цифры, которые в сумме дают 14, а в произведении 45. Выпишем возможные пары цифр, которые в сумме дают 14: * 5 и 9: \(5 + 9 = 14\) и \(5 \cdot 9 = 45\). Подходит. * 6 и 8: \(6 + 8 = 14\) и \(6 \cdot 8 = 48\). Не подходит. Таким образом, только одна пара цифр удовлетворяет условию: 5 и 9. Следовательно, задуманное число может быть либо 59, либо 95. Ответ: 59 или 95