Натуральное число обладает тремя свойствами. Во-первых, оно делится на 22. Во-вторых, оно больше, чем 4000. В-третьих, в этом числе третья цифра на 3 больше второй, а четвёртая цифра на 3 больше третьей. Найдите это число.

Решение:

1. Обозначим искомое число как \( ABCD \), где \( A, B, C, D \) — цифры этого числа.
2. По условию, число больше 4000, значит \( A \ge 4 \).
3. Число делится на 22. Так как \( 22 = 2 \times 11 \), число должно делиться и на 2, и на 11.
4. Делимость на 2 означает, что последняя цифра \( D \) — чётная (0, 2, 4, 6, 8).
5. Делимость на 11 означает, что знакочередующаяся сумма цифр равна 0 или кратна 11: \( A - B + C - D = 0 \) или \( A - B + C - D = \pm 11k \) (где \( k \) — целое число).
6. По условию, третья цифра на 3 больше второй: \( C = B + 3 \).
7. Четвёртая цифра на 3 больше третьей: \( D = C + 3 \).
8. Подставим \( C \) из третьего условия во второе: \( D = (B + 3) + 3 = B + 6 \).
9. Так как \( D \) — цифра, то \( D \le 9 \). Следовательно, \( B + 6 ≤ 9 \), что означает \( B ≤ 3 \).
10. Также \( C \) — цифра, значит \( C = B + 3 ≤ 9 \), что тоже означает \( B ≤ 6 \).
11. По условию \( C = B + 3 \), значит \( B \) может быть от 0 до 6.
12. По условию \( D = B + 6 \), значит \( B \) может быть от 0 до 3.
13. Итак, \( B \) может принимать значения 0, 1, 2, 3.
14. Рассмотрим возможные значения \( B \) и соответствующие \( C \) и \( D \):
    • Если \( B = 0 \), то \( C = 3 \), \( D = 6 \).
    • Если \( B = 1 \), то \( C = 4 \), \( D = 7 \). \( D \) нечётное, не подходит.
    • Если \( B = 2 \), то \( C = 5 \), \( D = 8 \).
    • Если \( B = 3 \), то \( C = 6 \), \( D = 9 \). \( D \) нечётное, не подходит.
15. Таким образом, возможные пары \( (B, C, D) \) — \( (0, 3, 6) \) и \( (2, 5, 8) \).
16. Теперь используем условие делимости на 11: \( A - B + C - D = 0 \).
17. Случай 1: \( B=0, C=3, D=6 \). Условие делимости на 11: \( A - 0 + 3 - 6 = 0 \) \( ⇒ A - 3 = 0 \) \( ⇒ A = 3 \). Но число должно быть больше 4000, то есть \( A ≥ 4 \). Этот случай не подходит.
18. Случай 2: \( B=2, C=5, D=8 \). Условие делимости на 11: \( A - 2 + 5 - 8 = 0 \) \( ⇒ A - 5 = 0 \) \( ⇒ A = 5 \).
19. Проверяем число 5258:
    • Больше 4000? Да (5258 > 4000).
    • Делится на 2? Да (оканчивается на 8).
    • Делится на 11? \( 5 - 2 + 5 - 8 = 0 \). Да.
    • Третья цифра (5) на 3 больше второй (2)? Да (5 = 2 + 3).
    • Четвёртая цифра (8) на 3 больше третьей (5)? Да (8 = 5 + 3).

Ответ: 5258.