19. Натуральное число t таково, что существует ровно 400² – 133² различных целых чисел х, таких что число x² + 2025ᵗ является полным квадратом. Найдите минимальное возможное значение t. Натуралдык t саны бар, жана так 400² - 133² ар башка бүтүн х саны үчүн x² + 2025ᵗ толук квадрат болуп чыгат. t-нын мүмкүн болгон эң аз маанисин табыңыз. A positive integer t is such that there exist exactly 400² – 133² distinct integers x for which the number x² + 2025ᵗ is a perfect square. Find the minimal possible value of t.

Решим задачу.

Пусть $$x^2 + 2025^t = y^2$$, где x и y - целые числа.

Тогда $$y^2 - x^2 = 2025^t$$, что можно разложить как $$(y - x)(y + x) = 2025^t$$.

Заметим, что $$2025 = 45^2 = (3^2 * 5)^2 = 3^4 * 5^2$$, поэтому $$2025^t = (3^4 * 5^2)^t = 3^{4t} * 5^{2t}$$.

Пусть $$y - x = a$$ и $$y + x = b$$, где $$a * b = 2025^t$$.

Тогда $$y = (a + b) / 2$$ и $$x = (b - a) / 2$$. Так как x и y - целые числа, то a и b должны быть либо оба четные, либо оба нечетные. Но поскольку $$a * b = 2025^t$$, a и b должны быть нечетными, так как 2025 не содержит четных множителей.

Число делителей $$2025^t$$ равно $$(4t + 1)(2t + 1)$$. Поскольку $$a < b$$, нужно рассмотреть только половину делителей. То есть, число различных пар (a, b) равно $$\frac{(4t + 1)(2t + 1)}{2}$$.

Но так как a и b могут быть как положительными, так и отрицательными, то количество целых чисел x равно $$(4t + 1)(2t + 1)$$.

По условию, число различных целых чисел x равно $$400^2 - 133^2 = (400 - 133)(400 + 133) = 267 * 533 = 3 * 89 * 533 = 142311$$.

Таким образом, $$(4t + 1)(2t + 1) = 142311$$.

$$8t^2 + 6t + 1 = 142311$$

$$8t^2 + 6t - 142310 = 0$$

$$4t^2 + 3t - 71155 = 0$$

$$t = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 * 4 * (-71155)}}{2 * 4} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 1138480}}{8} = \frac{-3 \pm \sqrt{1138489}}{8} = \frac{-3 \pm 1067}{8}$$

Так как t должно быть положительным, то $$t = \frac{1064}{8} = 133$$.

Проверим:

$$(4 * 133 + 1)(2 * 133 + 1) = (532 + 1)(266 + 1) = 533 * 267 = 142311$$.

Следовательно, минимальное возможное значение t равно 133.

Ответ: 133