ная к окружности. Окружность вписанная в угол.pptx-LibreOffice Impress Демонстрация Сервис Окно Справка 119.aby Π ΕΩ Задание 3(РЕШИТЬ) M N Дано: MN = 10 мм; <MNK = 60°. Найти: NK MM. K

Решение:

• Шаг 1: Определим угол .

  По условию, угол . Так как углы и опираются на одну и ту же дугу, то центральный угол в два раза больше вписанного угла . Следовательно: \[\angle MON = 2 \cdot \angle MNK = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ\]

• Шаг 2: Найдем углы и .

  Так как OM = ON (радиусы окружности), треугольник \(\triangle OMN\) равнобедренный. Значит, углы при основании равны: \[\angle OMN = \angle ONM = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ\]

• Шаг 3: Применим теорему синусов к треугольнику \(\triangle OMN\), чтобы найти радиус окружности R.

  Теорема синусов: \[\frac{MN}{\sin(\angle MON)} = 2R\] \[R = \frac{MN}{2\sin(\angle MON)} = \frac{10}{2\sin(120^\circ)} = \frac{10}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}\]

• Шаг 4: Определим угол .

  Так как угол , а угол центральный, опирающийся на ту же дугу, то: \[\angle MOK = 2 \cdot \angle MNK = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ\]

• Шаг 5: Применим теорему косинусов к треугольнику \(\triangle MOK\), чтобы найти NK.

  Теорема косинусов: \[NK^2 = OK^2 + ON^2 - 2 \cdot OK \cdot ON \cdot \cos(\angle NOK)\] \[NK^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(120^\circ)\] \[NK^2 = 2R^2 - 2R^2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2R^2 + R^2 = 3R^2\] \[NK = \sqrt{3R^2} = R\sqrt{3} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{10 \cdot 3}{3} = 10\]