23. Найди боковую сторону MN трапеции MNKP, если углы MNK и NKP равны соответственно 30° и 135°, а KP = 20. В ответе укажи длину MN, делённую на \(\sqrt{2}\).

**Решение:**

1. **Построение и анализ трапеции:**
* Трапеция MNKP, где \(\angle MNK = 30^\circ\) и \(\angle NKP = 135^\circ\).
* KP - основание, равное 20.

2. **Определение угла KNM:**
* Так как трапеция, по условию задачи, должна быть трапецией, а не просто четырехугольником, то MN и KP параллельны. Угол NKP является внешним по отношению к углу MNP, поэтому \(\angle MNP = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ\).
* Угол KNM = \(180^\circ - 30^\circ = 150^\circ\).

3. **Проведение высоты:**
* Проведём высоту NE из точки N к основанию KP.

4. **Анализ треугольника MNE:**
* В прямоугольном треугольнике MNE угол \(\angle NME = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\).

5. **Определение угла ENK:**
* \(\angle ENK = 150^\circ - 90^\circ = 60^\circ\).

6. **Анализ треугольника NEK:**
* \(\angle NKE = 135^\circ\), а \(\angle KNE = 90^\circ\), то \(\angle NEK = 180^\circ - (135^\circ - 90^\circ) = 45^\circ\).

7. **Длина отрезка NE:**
* Треугольник NEK является равнобедренным, так как \(\angle NEK = \angle NKE = 45^\circ\). Отсюда NE = KE

8. **Свойство параллельных прямых:**
* NE = 0 не возможно так как у нас есть KP и MN

9. **Определение длины MN через KE:**
* Проведем высоту MF из точки M к основанию KP. Угол MF=90. FK=MN так как MNEF прямоугольник.
* \(KE + FK = KP\)
* \(NE = ME* \sqrt{3}\)

10. **Расчет MN:**
* \(20 = FK + KE\), а \(FK= MN\)
* \(ME = MN*sin(30)\), \(ME = MN * \frac{1}{2}\)
* \(ME* \sqrt{3} = 20 - MN\)
* Подставим значения и получаем: \(\frac{1}{2} MN * \sqrt{3} = 20 - MN\)
* Домножаем на 2: \(MN * \sqrt{3} = 40 - 2MN\)
* Переносим \(MN\): \(MN * \sqrt{3} + 2MN = 40\)
* Выносим за скобки \(MN\): \(MN * (\sqrt{3} + 2) = 40\)
* Выражаем MN: \(MN = \frac{40}{\sqrt{3} + 2}\)
* Избавляемся от иррациональности в знаменателе: \(MN = \frac{40 * (2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})*(2-\sqrt{3})}\)
* \(MN = \frac{40 * (2-\sqrt{3})}{4 - 3}\)
* \(MN = 40 * (2-\sqrt{3})\)

11. **Вычисление MN / \(\sqrt{2}\):**

* Разделим \(MN\) на \(\sqrt{2}\), как просят в задаче.
* \(\frac{MN}{\sqrt{2}} = \frac{40 * (2-\sqrt{3})}{\sqrt{2}} \approx \frac{40 * (2-1.732)}{1.414} \approx \frac{40 * 0.268}{1.414} \approx \frac{10.72}{1.414} \approx 7.58\)

12. **Округление до целого числа:**

* Если округлить до целого числа, то получится 8.

**Ответ:** 7.58