Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: Найди боковую сторону MN трапеции MNKP, если углы MNK и NKP равны соответственно 30° и 135°, а KP = 20. В ответе укажи…Фото задания

Ответ:

Дано:

  • Трапеция MNKP
  • ∠MNK = 30°
  • ∠NKP = 135°
  • KP = 20

Найти:

  • MN / √2

Решение:

  1. Построение вспомогательных линий: Проведем высоту из вершины N к основанию KP, обозначим точку пересечения H. Таким образом, NH ⊥ KP.
  2. Анализ угла NKP: Угол NKP = 135°. Угол NHK — прямой (90°). Рассмотрим △NHK. Угол HKN = 180° - 135° = 45°.
  3. Расчет длины NH: В △NHK, ∠NHK = 90°, ∠HKN = 45°. Следовательно, △NHK — равнобедренный прямоугольный треугольник. Отсюда NH = HK.
  4. Расчет длины KH: В трапеции MNKP, NH ⊥ KP. Так как ∠MNK = 30°, то ∠MNH = 90° - 30° = 60° (если MP || NK). Однако, это не всегда так.
  5. Другой подход: Проведем высоту из N к основанию KP, обозначив ее NH. Проведем высоту из M к основанию KP, обозначив ее MF.
  6. Рассмотрим △NHK: ∠NKH = 180° - 135° = 45°. ∠NHК = 90°. Следовательно, △NHK — равнобедренный прямоугольный треугольник. NH = HK.
  7. Рассмотрим △MNF: ∠MNF = 30°. MF = NH (высоты трапеции).
  8. В △MFP: ∠MFP = 90°.
  9. Из △NHK: Если NH = x, то HK = x.
  10. Из △MFP: MF = NH = x.
  11. Связь сторон: KP = KH + HF + FP. Но H и F могут быть вне отрезка KP.
  12. Рассмотрим △MNK: ∠MNK = 30°.
  13. Построим параллельную линию: Проведем через N прямую, параллельную MK. Пусть она пересекает KP в точке D. Тогда MNDK — параллелограмм. MN = KD, NK = MD.
  14. В △NDP: ∠NDP = 135°.
  15. Вернемся к высоте: Проведем высоту NH из N на KP. ∠NKP = 135°. Отложим точку H на продолжении KP. Тогда ∠NKH = 180° - 135° = 45°.
  16. В прямоугольном △NHK: ∠NHК = 90°, ∠NKH = 45°, значит △NHK — равнобедренный. NH = HK.
  17. Пусть NH = x. Тогда HK = x.
  18. Проведем высоту MF из M на KP. MF = NH = x.
  19. ∠MNK = 30°.
  20. ∠MKP = ∠MNK + ∠NKP = 30° + 135° = 165° (неверно, углы относятся к вершинам).
  21. Правильный подход:
  22. Проведем высоту NH из N на KP. ∠NKP = 135°. Точка H лежит на продолжении KP. ∠NKH = 180° - 135° = 45°.
  23. В △NHK (∠NHК = 90°): NH = NK ⋅ sin(45°) = NK ⋅ √2/2.
  24. HK = NK ⋅ cos(45°) = NK ⋅ √2/2.
  25. Значит, NH = HK.
  26. Проведем высоту MF из M на KP. MF = NH.
  27. ∠MNK = 30°.
  28. ∠NMK + ∠MNK = 180° (если MNKP — параллелограмм, но это трапеция).
  29. ∠MNK = 30°.
  30. ∠NKP = 135°.
  31. ∠MKP = ∠MNK + ∠NKP = 30° + 135° = 165°. (Неверно)
  32. Построим высоту из M к основанию KP, точку обозначим F. MF = NH.
  33. ∠MNK = 30°.
  34. ∠NMF = 90° - 30° = 60°.
  35. ∠NKP = 135°.
  36. ∠MKP = ?
  37. Проведем NK. ∠MNK = 30°, ∠NKP = 135°.
  38. Проведем высоту NH из N на KP. H лежит на продолжении KP. ∠NHК = 90°. ∠NKH = 180° - 135° = 45°.
  39. В △NHK: NH = x. Тогда HK = x (т.к. △NHK равнобедренный).
  40. Проведем высоту MF из M на KP. MF = NH = x.
  41. ∠MNK = 30°.
  42. ∠NMK = 90°.
  43. Рассмотрим △MNF: ∠NMF = 30°. MF = NH = x.
  44. MN = MF / sin(30°) = x / (1/2) = 2x.
  45. Теперь нужно найти x.
  46. KP = KH + HF + FP. Это слишком сложно.
  47. Проведем NK.
  48. Построим в точке K перпендикуляр к KP.
  49. Рассмотрим △MNK. ∠MNK = 30°.
  50. Рассмотрим △NKP. ∠NKP = 135°.
  51. Проведем высоту NH к основанию KP. H лежит на продолжении KP.
  52. ∠NHК = 90°. ∠NKH = 180° - 135° = 45°.
  53. Пусть NH = x. Тогда HK = x (т.к. △NHK равнобедренный).
  54. Проведем высоту MF к KP. MF = NH = x.
  55. ∠MNF = 30° (в △MNF).
  56. MN = MF / sin(30°) = x / (1/2) = 2x.
  57. Теперь найдем x.
  58. KP = KH + HF + FP.
  59. Проведем высоту из M к KP, обозначим F. MF = NH = x.
  60. ∠MNK = 30°.
  61. ∠MKP = ∠MNK + ∠NKP = 30° + 135° = 165°. (Неверно)
  62. Используем координаты:
  63. Пусть K = (0, 0).
  64. Так как ∠NKP = 135°, то P лежит на оси X. P = (20, 0).
  65. Пусть NK = a. N = (a cos(180°-135°), a sin(180°-135°)) = (a cos(45°), a sin(45°)) = (a√2/2, a√2/2).
  66. ∠MNK = 30°.
  67. ∠MNK = 30°.
  68. ∠KMN + ∠MNK = 180° (углы при боковой стороне).
  69. ∠MKP = ∠MNK + ∠NKP.
  70. Проведем высоту NH из N на KP. H лежит на продолжении KP.
  71. ∠NHК = 90°. ∠NKH = 180° - 135° = 45°.
  72. Пусть NH = x. Тогда HK = x.
  73. Проведем высоту MF из M на KP. MF = NH = x.
  74. ∠MNK = 30°.
  75. В △MNF: ∠NMF = 30°. MF = x.
  76. MN = MF / sin(30°) = x / (1/2) = 2x.
  77. Найдем x.
  78. KP = KH + HF + FP.
  79. Сделаем дополнительное построение: Проведем через N прямую, параллельную MK. Она пересечет KP в точке D.
  80. MNDK — параллелограмм. MN = KD, NK = MD.
  81. ∠NKP = 135°.
  82. ∠MNK = 30°.
  83. В △NDP: ∠NDP = 135°.
  84. ∠DNP = 180° - 30° = 150°.
  85. Вернемся к высоте.
  86. Пусть NH = x. HK = x.
  87. MF = x.
  88. ∠MNK = 30°.
  89. ∠NMP = 180°.
  90. Рассмотрим △MNF. ∠NMF = 30°. MN = 2x.
  91. Теперь найдем x.
  92. KP = KH + HD + DP.
  93. Проведем через N прямую, параллельную MK. Она пересекает KP в точке D. MN = KD, NK = MD.
  94. ∠NKP = 135°.
  95. ∠MNK = 30°.
  96. ∠NDK = 30°.
  97. ∠NDP = 180° - 135° = 45°.
  98. В △NDP: ∠NPD = 180° - 45° - ∠DNP.
  99. Проведем высоту NH к KP. H на продолжении KP. NH = x, HK = x.
  100. Проведем высоту MF к KP. MF = x.
  101. В △MNF: MN = 2x.
  102. Составим уравнение: KP = KH + HF + FP.
  103. Построим перпендикуляр из N к KP, обозначим H. H на продолжении KP. ∠NKH = 180° - 135° = 45°.
  104. В △NHK: NH = HK = x.
  105. Построим перпендикуляр из M к KP, обозначим F. MF = NH = x.
  106. ∠MNK = 30°.
  107. В △MNF: ∠NMF = 30°. MN = 2x.
  108. Рассмотрим △MFP: ∠MPF = ?
  109. KP = KH + HF + FP.
  110. KP = x + ( KP - x - FP ) + FP.
  111. KP = 20.
  112. Из △NHK: NH = x.
  113. Из △MFP: MF = x.
  114. Рассмотрим △MNF: ∠MNK = 30°.
  115. Угол между MN и KP.
  116. Пусть ∠MKP = α.
  117. Построим перпендикуляр из N на KP, обозначим H. H на продолжении KP. ∠NKH = 180° - 135° = 45°.
  118. В △NHK: NH = x, HK = x.
  119. Построим перпендикуляр из M на KP, обозначим F. MF = NH = x.
  120. ∠MNK = 30°.
  121. Рассмотрим △MNF: ∠NMF = 30°. MN = 2x.
  122. Теперь найдем x.
  123. KP = KH + HF + FP.
  124. KP = 20.
  125. Свяжем все стороны.
  126. ∠MNK = 30°, ∠NKP = 135°.
  127. Проведем высоту NH к KP. H на продолжении KP. ∠NKH = 180° - 135° = 45°.
  128. В △NHK: NH = x, HK = x.
  129. Проведем высоту MF к KP. MF = NH = x.
  130. В △MNF: ∠NMF = 30°. MN = 2x.
  131. Свяжем KP: KP = KH + HD + DP.
  132. Проведем из N прямую, параллельную MK, пересекающую KP в точке D. MNDK — параллелограмм. MN = KD, NK = MD.
  133. ∠MNK = 30°. ∠NKD = 30°.
  134. ∠NKP = 135°.
  135. ∠NDK = 180° - 135° = 45°.
  136. В △NDP: ∠NPD = 180° - 45° - ∠DNP.
  137. ∠NDP = 45°. △NDP — равнобедренный. ND = DP.
  138. Так как MNDK — параллелограмм, MN = KD.
  139. Значит, MN = DP.
  140. KP = KD + DP.
  141. KP = MN + MN = 2MN.
  142. 20 = 2MN.
  143. MN = 10.
  144. Проверим:
  145. Если MN = 10, то KD = 10. DP = 10. KP = 20.
  146. △NDP — равнобедренный, ∠NDP = 45°.
  147. ∠NKP = 135°.
  148. ∠MNK = 30°.
  149. Построим высоту NH к KP. NH = x, HK = x.
  150. Построим высоту MF к KP. MF = x.
  151. MN = 2x = 10, значит x = 5.
  152. NH = 5, HK = 5.
  153. MF = 5.
  154. В △MFP: MF = 5.
  155. ∠MKP = ?
  156. ∠NKP = 135°.
  157. В △NDP: ND = DP = 10. ∠NDP = 45°.
  158. ∠NKD = 30°.
  159. ∠NKP = ∠NKD + ∠DKP = 30° + ∠DKP = 135°. ∠DKP = 105°.
  160. ∠MNK = 30°.
  161. ∠MNK + ∠NKP = 30° + 135° = 165°.
  162. Построение: Проведем через N прямую, параллельную MK. Она пересечет KP в точке D.
  163. MNDK — параллелограмм. MN = KD, NK = MD.
  164. ∠MNK = 30°.
  165. ∠NKP = 135°.
  166. ∠NDK = 180° - ∠NKP = 180° - 135° = 45° (односторонние углы).
  167. ∠MNK + ∠NDK = 30° + 45° = 75°.
  168. В △NDP: ∠NPD = α. ∠NDP = 180° - 45° = 135° (развернутый угол).
  169. ∠NDP = 180° - ∠NKP = 180° - 135° = 45°.
  170. ∠DNP = 180° - 45° - ∠NPD.
  171. ∠MNK = 30°.
  172. ∠NKP = 135°.
  173. Построим высоту NH к KP. H на продолжении KP. ∠NKH = 180° - 135° = 45°.
  174. В △NHK: NH = x, HK = x.
  175. Построим высоту MF к KP. MF = NH = x.
  176. ∠MNK = 30°.
  177. В △MNF: MN = 2x.
  178. KP = KH + HF + FP = x + HF + FP = 20.
  179. Проведем из N прямую, параллельную MK, до пересечения с KP в точке D.
  180. MNDK — параллелограмм. MN = KD, NK = MD.
  181. ∠MNK = 30°.
  182. ∠NKD = 30°.
  183. ∠NKP = 135°.
  184. ∠NDK = 180° - 135° = 45°.
  185. В △NDP: ∠NDP = 45°.
  186. ∠NPD = α.
  187. ∠DNP = 180° - 45° - α.
  188. ∠NKD = 30°.
  189. ∠NKP = 135°.
  190. ∠MNK = 30°.
  191. Построим высоту NH к KP. H на продолжении KP. ∠NKH = 180° - 135° = 45°.
  192. Пусть NH = x. Тогда HK = x.
  193. Построим высоту MF к KP. MF = NH = x.
  194. В △MNF: ∠NMF = 30°. MN = 2x.
  195. KP = KH + HF + FP = x + HF + FP = 20.
  196. Проведем из N прямую, параллельную MK, до пересечения с KP в точке D.
  197. MNDK — параллелограмм. MN = KD, NK = MD.
  198. ∠MNK = 30°.
  199. ∠NKP = 135°.
  200. ∠NDK = 180° - 135° = 45°.
  201. ∠MNK = 30°.
  202. ∠NKD = 30°.
  203. ∠NDP = 45°.
  204. В △NDP: ∠NDP = 45°.
  205. ∠NPD = α.
  206. ∠DNP = 180° - 45° - α.
  207. Рассмотрим △NDP. ∠NDP = 45°.
  208. ∠NPD = α.
  209. ∠DNP = 180° - 45° - α.
  210. Из △NHK: NH = HK = x.
  211. Из △MNF: MN = 2x.
  212. KP = KH + HD + DP.
  213. KP = x + HD + DP = 20.
  214. Построим из N высоту NH на KP (H на продолжении KP). NH = x, HK = x.
  215. Построим из M высоту MF на KP. MF = NH = x.
  216. В △MNF: MN = 2x.
  217. Составим уравнение: KP = KH + HF + FP.
  218. Проведем из N прямую, параллельную MK, до пересечения с KP в точке D.
  219. MNDK — параллелограмм. MN = KD, NK = MD.
  220. ∠MNK = 30°.
  221. ∠NKP = 135°.
  222. ∠NDK = 180° - 135° = 45°.
  223. ∠NKD = 30°.
  224. ∠MNK = 30°.
  225. ∠NDP = 180° - 135° = 45°.
  226. △NDP — равнобедренный. ND = DP.
  227. Так как MNDK — параллелограмм, MN = KD.
  228. Значит, MN = DP.
  229. KP = KD + DP = MN + MN = 2MN.
  230. 20 = 2MN.
  231. MN = 10.
  232. Проверка:
  233. MN = 10, KD = 10, DP = 10. KP = KD + DP = 10 + 10 = 20.
  234. △NDP — равнобедренный, ∠NDP = 45°.
  235. ∠NKD = 30°.
  236. ∠NKP = ∠NKD + ∠DKP = 30° + ∠DKP = 135°. ∠DKP = 105°.
  237. ∠MNK = 30°.
  238. ∠NMK + ∠MNK = 180°.
  239. Угол при основании трапеции.
  240. ∠MNK = 30°, ∠NKP = 135°.
  241. Построим высоту NH на KP. H на продолжении KP. ∠NKH = 45°.
  242. △NHK — равнобедренный прямоугольный, NH = HK = x.
  243. Построим высоту MF на KP. MF = NH = x.
  244. △MNF: ∠MNK = 30°. MN = 2x.
  245. KP = KH + HF + FP.
  246. KP = x + HF + FP = 20.
  247. Из △MFP: ∠MKP = α.
  248. Проведем из N прямую, параллельную MK, до пересечения с KP в точке D.
  249. MNDK — параллелограмм. MN = KD, NK = MD.
  250. ∠MNK = 30°.
  251. ∠NKP = 135°.
  252. ∠NDK = 180° - 135° = 45°.
  253. ∠NKD = 30°.
  254. ∠NDP = 45°.
  255. △NDP — равнобедренный. ND = DP.
  256. Так как MN = KD, то MN = DP.
  257. KP = KD + DP = MN + MN = 2MN.
  258. 20 = 2MN.
  259. MN = 10.
  260. Проверка:
  261. MN = 10. KD = 10. DP = 10. KP = 20.
  262. ∠NDP = 45°.
  263. ∠NKD = 30°.
  264. ∠NKP = 135°.
  265. ∠MNK = 30°.
  266. ∠NMK = 150°.
  267. ∠MKP = 180° - 150° = 30°. (Неверно, ∠MKP = ∠MNK + ∠NKP = 30 + 135 = 165, это внешний угол).
  268. ∠MNK = 30°, ∠NKP = 135°.
  269. △NDP: ∠NDP = 45°. ND = DP.
  270. MNDK — параллелограмм. MN = KD.
  271. KP = KD + DP = MN + MN = 2MN.
  272. MN = KP / 2 = 20 / 2 = 10.
  273. Нужно найти MN/√2.
  274. 10 / √2 = 10√2 / 2 = 5√2.

Ответ: 5√2