Найди число элементарных событий, которые благоприятствуют появлению семи или восьми успехов, если проводится серия из 16 испытаний.

Решение:

Эта задача связана с комбинаторикой, а именно с биномиальным распределением. Нам нужно найти количество способов, которыми могут произойти 7 успехов или 8 успехов в серии из 16 испытаний. Для этого используется формула сочетаний.

1. Количество способов получить ровно 7 успехов:

Используется формула сочетаний $$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$, где $$n$$ — общее число испытаний, $$k$$ — число успехов.

• $$n = 16$$ (всего испытаний)
• $$k = 7$$ (число успехов)
• $$C_{16}^7 = \frac{16!}{7!(16-7)!} = \frac{16!}{7!9!} = \frac{(16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10)}{(7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)} = 11440$$

2. Количество способов получить ровно 8 успехов:

Используется та же формула сочетаний, но с $$k = 8$$.

• $$n = 16$$
• $$k = 8$$
• $$C_{16}^8 = \frac{16!}{8!(16-8)!} = \frac{16!}{8!8!} = \frac{(16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9)}{(8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)} = 12870$$

3. Общее число благоприятных исходов:

Так как события «получение 7 успехов» и «получение 8 успехов» несовместны (не могут произойти одновременно), общее число благоприятных исходов равно сумме чисел способов для каждого случая.

• $$11440 + 12870 = 24310$$

Ответ: 24310