Найди экстремумы функции f(x) = 3x3 + 7x2 + 5x + 5.

Решение:

• Шаг 1: Находим первую производную функции: \[f'(x) = 9x^2 + 14x + 5\]
• Шаг 2: Приравниваем производную к нулю и решаем квадратное уравнение: \[9x^2 + 14x + 5 = 0\] Дискриминант: \[D = 14^2 - 4 \cdot 9 \cdot 5 = 196 - 180 = 16\] Корни уравнения: \[x_1 = \frac{-14 + \sqrt{16}}{2 \cdot 9} = \frac{-14 + 4}{18} = \frac{-10}{18} = -\frac{5}{9}\] \[x_2 = \frac{-14 - \sqrt{16}}{2 \cdot 9} = \frac{-14 - 4}{18} = \frac{-18}{18} = -1\]
• Шаг 3: Определяем знаки производной на интервалах:
  • Интервал 1: (-\infty, -1). Возьмем x = -2. f'(-2) = 9(-2)^2 + 14(-2) + 5 = 36 - 28 + 5 = 13 > 0 (функция возрастает).
  • Интервал 2: (-1, -5/9). Возьмем x = -0.7. f'(-0.7) = 9(-0.7)^2 + 14(-0.7) + 5 = 4.41 - 9.8 + 5 = -0.39 < 0 (функция убывает).
  • Интервал 3: (-5/9, +\infty). Возьмем x = 0. f'(0) = 9(0)^2 + 14(0) + 5 = 5 > 0 (функция возрастает).
• Шаг 4: Определяем точки экстремума:
  • x = -1 - точка максимума (функция меняет возрастание на убывание).
  • x = -5/9 - точка минимума (функция меняет убывание на возрастание).

Максимум в точке x = -1

Минимум в точке x = -5/9