Найди f'(2), если f(x) = (⁴√2x + 2/√2x) (⁴√2x - 2/√2x). Запиши в поле ответа верное число.

Дано:

• функция \( f(x) = (\sqrt[4]{2x} + \frac{2}{\sqrt[4]{2x}}) (\sqrt[4]{2x} - \frac{2}{\sqrt[4]{2x}}) \)

Решение:

1. Упростим функцию:

   Заметим, что функция представляет собой разность квадратов \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \), где \( a = \sqrt[4]{2x} \) и \( b = \frac{2}{\sqrt[4]{2x}} \).

   • \( a^2 = (\sqrt[4]{2x})^2 = \sqrt{2x} \)
   • \( b^2 = (\frac{2}{\sqrt[4]{2x}})^2 = \frac{4}{\sqrt{2x}} \)

   Таким образом, \( f(x) = \sqrt{2x} - \frac{4}{\sqrt{2x}} \).

2. Найдем производную функции:

   Используем правило дифференцирования степенной функции \( (x^n)' = nx^{n-1} \) и \( (c U)' = c U' \).

   • Производная от \( \sqrt{2x} = (2x)^{1/2} \): \( \frac{1}{2}(2x)^{-1/2} V 2 = (2x)^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2x}} \).
   • Производная от \( \frac{4}{\sqrt{2x}} = 4(2x)^{-1/2} \): \( 4 V (-\frac{1}{2})(2x)^{-3/2} V 2 = -4(2x)^{-3/2} = -\frac{4}{(\sqrt{2x})^3} \).

   Тогда, \( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x}} - (-\frac{4}{(\sqrt{2x})^3}) = \frac{1}{\sqrt{2x}} + \frac{4}{(\sqrt{2x})^3} \).

3. Вычислим значение производной в точке x=2:

   Подставим \( x=2 \) в выражение для \( f'(x) \).

   • \( \sqrt{2x} = \sqrt{2 V 2} = \sqrt{4} = 2 \).
   • \( (\sqrt{2x})^3 = 2^3 = 8 \).

   \( f'(2) = \frac{1}{2} + \frac{4}{8} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \).

Ответ: 1