Найди f'(4), если f(x) = 8 / (x - 2)^2

Решение:

1. Находим производную функции:

   Для начала, представим функцию в виде: \( f(x) = 8(x - 2)^{-2} \).

   Используем правило дифференцирования степенной функции \( (u^n)' = n · u^{n-1} · u' \).

   В нашем случае \( u = x - 2 \) и \( n = -2 \).

   Производная от \( u = x - 2 \) равна \( u' = 1 \).

   Таким образом, производная \( f'(x) \) будет:

   \[ f'(x) = 8 · (-2) · (x - 2)^{-2 - 1} · 1 \]\[ f'(x) = -16 · (x - 2)^{-3} \]\[ f'(x) = -\frac{16}{(x - 2)^3} \]
2. Вычисляем значение производной в точке x = 4:

   Подставляем \( x = 4 \) в полученную формулу производной:

   \[ f'(4) = -\frac{16}{(4 - 2)^3} \]\[ f'(4) = -\frac{16}{(2)^3} \]\[ f'(4) = -\frac{16}{8} \]\[ f'(4) = -2 \]

Ответ: -2