Найди гипотенузу прямоугольного треугольника, если вписанная окружность делит один из катетов на отрезки 1 см и 3 см.

Привет! Давай разберем эту задачу вместе.

Условие задачи:

• Прямоугольный треугольник.
• Вписанная окружность делит один из катетов на отрезки длиной 1 см и 3 см.

Что нужно найти: Гипотенузу треугольника.

Разбираемся с данными:

Когда вписанная окружность касается сторон прямоугольного треугольника, она отсекает от катетов отрезки. Если один катет разделен на отрезки 1 см и 3 см, то это значит, что точка касания делит этот катет. В прямоугольном треугольнике отрезки от вершины прямого угла до точки касания равны радиусу вписанной окружности. Значит, радиус вписанной окружности (r) равен 1 см.

Пусть катеты треугольника будут a и b, а гипотенуза — c.

Один из катетов (пусть будет a) разделен на отрезки 1 см и 3 см. Поскольку 1 см — это отрезок от вершины прямого угла до точки касания, то a = 1 + 3 = 4 см.

Теперь нам нужно найти второй катет b. Для этого используем формулу радиуса вписанной окружности в прямоугольном треугольнике:

\[ r = \frac{a + b - c}{2} \]

Мы знаем, что r = 1 и a = 4. Подставим это в формулу:

\[ 1 = \frac{4 + b - c}{2} \]

\[ 2 = 4 + b - c \]

\[ c - b = 4 - 2 \]

\[ c - b = 2 \]

Отсюда выразим c:

\[ c = b + 2 \]

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника:

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

Подставим известные значения a = 4 и c = b + 2:

\[ 4^2 + b^2 = (b + 2)^2 \]

\[ 16 + b^2 = b^2 + 4b + 4 \]

Теперь упростим уравнение. Заметим, что b^2 есть с обеих сторон, поэтому они взаимно уничтожаются:

\[ 16 = 4b + 4 \]

Перенесем 4 в левую часть:

\[ 16 - 4 = 4b \]

\[ 12 = 4b \]

Найдем b:

\[ b = \frac{12}{4} \]

\[ b = 3 \]

Итак, второй катет равен b = 3 см.

Теперь, когда мы знаем оба катета (a = 4 см и b = 3 см), мы можем найти гипотенузу c, используя теорему Пифагора:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

\[ c^2 = 4^2 + 3^2 \]

\[ c^2 = 16 + 9 \]

\[ c^2 = 25 \]

\[ c = \sqrt{25} \]

\[ c = 5 \]

Значит, гипотенуза равна 5 см.

Проверка:

Если c = 5 см и b = 3 см, то c - b = 5 - 3 = 2. Это соответствует нашему уравнению c - b = 2.

Ответ: 5 см