Найди гипотенузу прямоугольного треугольника, если вписанная окружность делит один из катетов на отрезки 1 см и 3 см. Запиши ответ в виде десятичной дроби, если у тебя получилось дробное число.

Привет! Давай разберемся с этой задачей вместе.

Что нам дано?

• Прямоугольный треугольник.
• Вписанная окружность.
• Один из катетов разделен этой окружностью на отрезки 1 см и 3 см.

Что нужно найти?

• Длину гипотенузы.

Решение:

1. Свойства вписанной окружности: Из точки касания окружности с гипотенузой, отрезки до вершин равны. Отрезки от вершины прямого угла до точек касания на катетах равны радиусу вписанной окружности.
2. Обозначения: Пусть катет, который делится окружностью, будет a. Отрезки, на которые он делится, обозначим x и y. В нашем случае, пусть x = 1 см, а y = 3 см.
3. Радиус окружности: Так как отрезки от вершины прямого угла до точек касания равны радиусу (r), то r = x = 1 см.
4. Длина катета: Длина катета a будет равна сумме этих отрезков: a = x + y = 1 см + 3 см = 4 см.
5. Второй катет: Теперь рассмотрим другой катет, обозначим его b. Отрезки, на которые его делит окружность, будут равны: один отрезок равен радиусу (r = 1 см), а второй отрезок (обозначим его z) нам неизвестен. Итак, b = r + z = 1 + z.
6. Свойства касательных: Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Из точки, где катет a касается окружности, мы имеем отрезки x = 1 см и y = 3 см. Из точки, где катет b касается окружности, мы имеем отрезок r = 1 см и отрезок z.
7. Связь отрезков: Важно, что отрезки от точки касания окружности с гипотенузой до вершин острого угла равны. То есть, если один отрезок катета равен 3 см, то и отрезок гипотенузы, прилежащий к этому же острому углу, тоже будет 3 см.
8. Найдем z: Если один отрезок катета a равен 1 см (радиус), а другой 3 см, то и отрезок гипотенузы, прилежащий к этому катету, будет 3 см. А так как другой катет b имеет отрезки 1 см (радиус) и z, то и отрезок гипотенузы, прилежащий к катету b, будет равен z.
9. Используем теорему Пифагора:

   Нам нужно найти гипотенузу (c). По теореме Пифагора:

   c^2 = a^2 + b^2

   Мы знаем, что a = 4 см. Нам нужно найти b.

   Рассмотрим отрезки, которые касаются окружности:

   * От вершины прямого угла до касательных на катетах: r = 1 см.

   * От вершины одного острого угла до касательных: 3 см (на катете a) и 3 см (на гипотенузе).

   * От вершины другого острого угла до касательных: z (на катете b) и z (на гипотенузе).

   Значит, длины катетов:

   a = 1 + 3 = 4 см

   b = 1 + z

   Длина гипотенузы:

   c = 3 + z

   Подставляем в теорему Пифагора:

   \[ (3 + z)^2 = 4^2 + (1 + z)^2 \]

   \[ 9 + 6z + z^2 = 16 + 1 + 2z + z^2 \]

   \[ 9 + 6z = 17 + 2z \]

   \[ 4z = 8 \]

   \[ z = 2 \]

   Теперь мы можем найти длины катетов и гипотенузы:

   a = 4 см

   b = 1 + z = 1 + 2 = 3 см

   c = 3 + z = 3 + 2 = 5 см

Проверка:

a^2 + b^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25

c^2 = 5^2 = 25

Все сходится!

Ответ: 5 см