Найди х по данным рисунка.

Решение:

Угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания, равен половине дуги, заключённой между ними.

Угол \( 116^{\circ} \) — внешний угол треугольника, образованного касательной, секущей и хордой. Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов.

1. Один из углов треугольника равен \( x \).
2. Другой угол — это угол между касательной AB и хордой BC. Он равен половине дуги BC.
3. Угол \( 116^{\circ} \) равен сумме угла \( x \) и угла между касательной AB и хордой BC.
4. Рассмотрим дугу, на которую опирается угол \( x \). Пусть центр окружности — O. Тогда \( \angle BOC = 2x \) (центральный угол).
5. Угол между касательной AB и хордой BC равен половине дуги AC.
6. Угол \( A \) в треугольнике ABC равен \( 116^{\circ} \). Угол \( B \) равен \( x \). Угол \( C \) — это угол между хордой BC и касательной AC (точка A не на окружности).
7. Другой подход: угол между касательной AB и хордой BC равен углу, опирающемуся на дугу BC изнутри.
8. Пусть угол между касательной AB и хордой BC равен \( \alpha \). Тогда \( 116^{\circ} = x + \alpha \).
9. Угол \( \alpha \) равен половине дуги BC.
10. Рассмотрим угол \( x \). Он опирается на некоторую дугу.
11. Угол, образованный касательной AB и хордой BC, равен углу \( x \) (угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу).
12. Тогда в треугольнике ABC имеем: \( 116^{\circ} + x + x = 180^{\circ} \).
13. \( 116^{\circ} + 2x = 180^{\circ} \).
14. \( 2x = 180^{\circ} - 116^{\circ} \).
15. \( 2x = 64^{\circ} \).
16. \( x = 32^{\circ} \).

Ответ: 32